Anwendung des Mittelwertsatzes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:19 Fr 23.01.2009 | | Autor: | clay |
Hallo!
Ich habe bei einer Aufgabe eine Funktion [mm] f(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{l * sin(\alpha}{d} [/mm] auf dem Intervall [0, [mm] \bruch{\pi}{2}]. [/mm] Ich weiß, dass meine Funktion als Zufallsvariable (darf ich das so sagen?) gleichverteilt ist und habe daher die Wahrscheinlichkeit
[mm] p=\bruch{\integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0} {l\cdot sin(\alpha) d\alpha}}{d * \bruch{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2l}{\pi d} [/mm]
ausgerechnet, indem ich die Fläche unter der Funktion durch die gesamte Fläche dividiere (die Höhe des Intervalls ist d). Nun habe ich festgestellt, dass diese Wahrscheinlichkeit gleich dem Mittelwert der Funktion ist:
[mm] p=m=\bruch{1}{b-a} \integral^{b}_{a} {f(\alpha) d\alpha} =\bruch{1}{\bruch{\pi}{2}} * \integral^{\bruch{\pi}{2}}_{0} {\bruch{l*sin(\alpha)}{d} d\alpha}=\bruch{2l}{\pi d}. [/mm]
(Zwischenschritte bei der Berechnung von p und m habe ich erstmal weggelassen, ich hoffe das sieht man auch so)
Und jetzt suche ich eine Begründung warum das so ist.
Ich weiß, dass mir dort wohl der Mittelwertsatz weiterhelfen kann:
Seien a < b, und die Funktion f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] sei stetig und definiert auf dem Intervall [a,b]. Es existiert ein c [mm] \in [/mm] [a,b] mit:
[mm] \bruch{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f'(c) [/mm]
Wenn ich die Gleichung so stehen habe, sieht es ja schon so aus, als ob es mir helfen könnte. Ich würde sagen, es gilt: [mm] p=\bruch{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f'(c) [/mm] =m.
Aber stimmt das? Ich habe mir das so ein bißchen aus der Zeichnung überlegt. Verstehe aber noch nicht ganz warum der Mittelwert dann gleich der Steigung an einem Punkt ist- also wie man sich das so vorstellen kann (ich schätze ich habe da gerade irgendeine Grundlage nicht verstanden). Und die Wahrscheinlichkeit ist p = [mm] \bruch{f(b)-f(a)}{(b-a)} [/mm] kommt mir wegen der Gleichverteilung schlüssig vor, aber auch hier kann ich mir das nicht so richtig bildlich vorstellen...
Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann!
Viele Grüße
clay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 28.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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