Anwendung des Mittelwertsatzes < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Fr 24.04.2020 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Untersuche die Differenzialgleichung [mm] $yʹ=6x\cdot \sqrt[3]{y^2}$ [/mm] auf eindeutige Lösbarkeit ohne sie direkt zu lösen. |
Meine Lösung:
Die rechte Seite $f(x,y):=6x [mm] \sqrt[3]{y^2}$ [/mm] der Gleichung ist ganz stetig in [mm] $\mathbb{R}^2$. [/mm] Nach dem Existenzsatz von Peano geht daher durch jeden Punkt [mm] $(x_0,y_0)\in \mathbb{R}^2$ [/mm] eine Lösung.
Ist [mm] $y_0\neq [/mm] 0,$ so gibt es eine Umgebung [mm] $(x_0,y_0),$ [/mm] in der $f(x,y)$ Lipschitz-stetig ist. Es gilt nämlich:
[mm] $∣f(x,y)−f(x,y_0)∣=6∣x∣∣y^{2/3}−y_0^{2/3}∣\le L∣y−y_0∣$ [/mm] (*) .
Das (*) bleibt noch zu zeigen und da liegt mein Problem. Die Lipschitz-Stetigkeit muss laut Satz von Picard Lindelöf bezüglich $y$ gezeigt werden. Meine Idee ist, hier den Mittelwertsatz anzuwenden. Allerdings weiß ich nicht in welchen Dimensionen. Wir sind zwar hier im zweidimensionalen und projezieren in den eindimensionalen Raum, brauchen also den dreidimensionalen Raum für eine Graphik. Aber bezüglich Lipschitz-Stetigkeit ist es eindimensional.
Ich versuche es einmal: Sei $f$ in [mm] $[y,y_0]$ [/mm] stetig und in [mm] $]y_0,y[$ [/mm] differenzierbar. Dann gibt es ein [mm] $\xi\in]y_0,y[$ [/mm] sodass gilt [mm] $\frac{f(x,y)−f(x,y_0)}{y−y_0}=f'(x,\xi).$ [/mm] Setzen wir ein, so erhalten wir [mm] $\frac{6x\left(y^{2/3}−y_0^{2/3}\right)}{y−y_0}=\frac{4x}{\sqrt[3]{\xi}}.$ [/mm] Wegen [mm] $\lim_{y_0\to \pm \infty} |\frac{4x}{\sqrt[3]{y_0}}|=0$ [/mm] bedeutet dies, dass der Ausdruck rechts beschränkt bleibt.
Somit gibt es gute Chancen, dass so eine Lipschitz-Konstante findbar ist. Aber wie machen wir das? Ich habe Unsicherheit mit den Dimensionen hier. Ich weiß nicht sicher, ob ich den MWS richtig ins Mehrdimensionale übertragen habe und außerdem bin ich mir nicht sicher wie mit dem $x$ umzugehen ist. Wie werden wir das los?
Wäre für kurze restliche Klärung sehr dankbar!
Gruß,
Clemenum
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Fr 24.04.2020 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist nicht "mehrdimensional", du willst nur Lipschitz für die einfache Funktion f(y), das x spielt doch hier keine Rolle, allerdings ist f in 0 nicht Lipschitz.
Gruß ledum
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