Anwendung Mittelwerteigensch. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei eine holomorphe Funktion f und eine offene Umgebung U.
Zeigen sie:
[mm]\nexists z_0 \in U: |f(z_0)|> |f(z)| \forall z \in U\setminus{z_0}[/mm] |
Die Aufgabe ist mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft und ohne das Maximumsprinzip zu zeigen.
Mein Problem ist, dass ich die Aussage ohne letzteres nicht gezeigt kriege. Wenn ich das Maximumsprinzip verwenden kann, so folgt aus dessen Beweis mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft, dass wenn [mm]|f(z_0)| = max{|f(z)|: z \in B_r(z_0)}[/mm], wobei hier alle z auf dem Rand gemeint sind, ein Widerspruch.
Wie krieg ich das jetzt aber ohne hin?
Ich bin erstmal für jeden Input dankbar
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> Gegeben sei eine holomorphe Funktion f und eine offene
> Umgebung U.
> Zeigen sie:
> [mm]\nexists z_0 \in U: |f(z_0)|> |f(z)| \forall z \in U\setminus{z_0}[/mm]
>
> Die Aufgabe ist mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft und
> ohne das Maximumsprinzip zu zeigen.
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> Mein Problem ist, dass ich die Aussage ohne letzteres nicht
> gezeigt kriege. Wenn ich das Maximumsprinzip verwenden
> kann, so folgt aus dessen Beweis mit Hilfe der
> Mittelwerteigenschaft, dass wenn [mm]|f(z_0)| = max{|f(z)|: z \in B_r(z_0)}[/mm],
> wobei hier alle z auf dem Rand gemeint sind, ein
> Widerspruch.
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> Wie krieg ich das jetzt aber ohne hin?
> Ich bin erstmal für jeden Input dankbar
Zu [mm] z_0 [/mm] gibt es eine Kreisscheibe mit Radius r, die ganz in U liegt. Dann müsste [mm] |f(z_0)|>|f(z)| [/mm] für alle z auf dem Rand sein, da diese alle in U liegen.
Nun besagt die Mittelwerteigenschaft:
[mm] f(z_0)=\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\partial r}^{}{\bruch{f(z)}{z-z_0} dz} \Rightarrow
[/mm]
[mm] |f(z_0)|=|\bruch{1}{2\pi i} \integral_{\partial r}^{}{\bruch{f(z)}{z-z_0} dz}|\le \bruch{1}{2\pi } \integral_{\partial r}^{}{\bruch{|f(z)|}{|z-z_0|} |dz|}=\bruch{1}{2\pi } \integral_{\partial r}^{}{\bruch{|f(z)|}{r} |dz|}=\bruch{1}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{|f(z)|} |dz|\le \bruch{1}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{max(|f(z)|)} |dz|=\bruch{max(|f(z)|)}{2\pi r } \integral_{\partial r}^{}{} |dz|=\bruch{max(|f(z)|)}{2\pi r } *2\pi [/mm] r = max(|f(z)|,
also insgesamt [mm] |f(z_0)|< [/mm] max(|f(z)|, und [mm] |f(z_0)| [/mm] wäre nicht maximal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Di 10.05.2016 | | Autor: | Killercat |
Vielen lieben Dank, das war schon mehr als ich erwartet habe :)!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 12.05.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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