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Anwendung L´Hospital: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:43 Mo 19.10.2009
Autor: pueppiii

Hallo,
ich habe einen Grenzwert gegeben:
[mm] \limes_{q\rightarrow\(1}S_{q}= [/mm] k [mm] \limes_{q\rightarrow\(1} \bruch{1-\summe_{i=1}^{W}p_{i}exp[(q-1) ln p_{i}]}{q-1} [/mm]

der Zwischenschritt ist die Anwendung von L´Hospital

um dann dieses Ergebnis zu erhalten:

= - k [mm] \summe_{i=1}^{W}p_{i}ln p_{i}. [/mm]

Meine Frage: Ich muss die Grenzwerte ableiten nach q?
Der Teil unterm Bruchstrich fällt weg, da q gleich 1. Wenn ich [mm] -\summe_{i=1}^{W}p_{i}exp[(q-1)ln p_{i}] [/mm] ableite, erhalte ich dann das obere, aber warum (sorry tu mich mit der exp Funktion ein wenig schwer)?
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Vielen lieben Dank!

        
Bezug
Anwendung L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Mo 19.10.2009
Autor: M.Rex

Hallo

Der Summenzeichen stört bei der Ableitung erstmal nicht, da ja die Summenfegel gilt, nämlich (p+q)'=p'+q'

Also betrachte mal "nur" einen Summanden, also

[mm] p_{i}*e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)} [/mm]


Diesen kannst du per Kettenregel ableiten, beachte, dass [mm] p_{i} [/mm] ein konstanter Faktor ist, also:

[mm] \left(p_{i}*e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}\right)' [/mm]
[mm] =p_{i}*\left(e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}\right)' [/mm]
[mm] =\underbrace{p_{i}}_{\text{Konst. Fakt.}}*\underbrace{e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)}}_{\text{Äußere Abl.}}*\underbrace{\ln(p_{i})}_{\text{innere Abl.}} [/mm]

Beachte nun, dass
[mm] e^{(q-1)*\ln\left(p_{i}\right)} [/mm]
[mm] =e^{\ln\left(p_{i}\right)*(q-1)} [/mm]
[mm] =\left(e^{\ln\left(p_{i}\right)}\right)^{(q-1)} [/mm]
[mm] =\ldots [/mm]
(Spiele nun ein wenig mit der Tatsache herum, dass [mm] \exp [/mm] und  [mm] \ln [/mm] Umkehrfunktionen sind.)

Kommst du damit erstmal weiter? Ich habe den Gedanken aber auch nicht zu Ende gedacht, aber vielleicht hilfts.

Marius

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Anwendung L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Mo 19.10.2009
Autor: pueppiii

Ok dann erhalte ich, da ln und e Umkehrfunktionen sind: [mm] p_{i}^{q-1} [/mm] und für die gesamte Formel
[mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] ? Richtig, oder? Jedoch sieht das noch nicht so aus, wie oben!
Achso und dann setze ich q=1 und somit erhalte ich nur [mm] p_{i} [/mm] ln [mm] p_{i} [/mm] ???

Wie erhalte ich dann das - k ?

Danke!
Lg pueppiii

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Anwendung L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mo 19.10.2009
Autor: leduart

Hallo
das -k steht doch von anfang an in der Summe, wenn dus in den Bruch reinmultiplizierst und das 1*k davor abgeleitet gibt ja 0.
Gruss leduart

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Anwendung L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:46 Mo 19.10.2009
Autor: pueppiii

ok, ja deswegen bleibt das -k vor der Summe als Faktor stehen!

Jetzt sind noch diese Fragen zum Verständnis offen:
Ok dann erhalte ich, da ln und e Umkehrfunktionen sind: $ [mm] p_{i}^{q-1} [/mm] $ und für die gesamte Formel
$ [mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] $ ? Richtig, oder?
Achso und dann setze ich q=1 und somit erhalte ich nur $ [mm] p_{i} [/mm] $ ln $ [mm] p_{i} [/mm] $ ???
Ich wende doch erst L´ Hospital an, das heisst Zähler und Nenner ableiten nach q und dann setze ich q ein oder?

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Anwendung L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 19.10.2009
Autor: leduart

Hallo
ja
aber warum schreibst du immer :
$ [mm] =p_{i} p_{i}^{q-1}ln p_{i} [/mm] $ statt
$ [mm] =p_{i}^{q}*ln p_{i} [/mm] $
Gruss leduart

Bezug
                                                
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Anwendung L´Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Mo 19.10.2009
Autor: pueppiii

Was meinst du?

Ich hatte vorhin nur Bezug genommen auf M.Rex.

Das hier soll doch rauskommen!

= - k $ [mm] \summe_{i=1}^{W}p_{i}ln p_{i}. [/mm] $

Lg

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Anwendung L´Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 Mo 19.10.2009
Autor: leduart

Hallo
kommt ja auch raus fuer q=1. ich hatte mich nur gewundert, dass du das aus Gruenden der Herleitung so hingeschriebene Ergebnis von Rex nicht vereinfachst. war ja nix falsch!
Gruss leduart

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Anwendung L´Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 Di 20.10.2009
Autor: pueppiii

Achso jetzt hab ichs verstanden, warum ich die [mm] p_{i}´s [/mm] nicht "zusammenziehe"!! Keine Ahnung ;-)!
Danke dir!!

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