Anwendung Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein quaderförmiges Becken mit 8 m Länge, 5 m Breite und 3 m Höhe wird mit Wasser befüllt. Zu Beginn beträgt die Wasserhöhe 0,1 m. Der Zu- bzw. Abfluss des Wassers wird modellhaft durch die Zulaufratenfunktion
[mm] f(t)=t^3-13t^2+40t; [/mm] 0<=t<=9
beschrieben (f(t) in m³ pro h, t in h).
a) Geben Sie die Teitpunkte an, zu denen das Wasser weder zu- noch abläuft und berechnen Sie die Zeitpunkte maximalen zu- bzw. Abflusses.
b) Skizzieren Sie den Graphen Gf der Zulaufratenfunktion f.
c) Wie viel Wasser befindet sich nach 3 Stunden im Becken?
d) Bestimmen Sie die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Einfüllvorgangs.
e) Berechnen Sie die maximale Wassermenge im Becken.
f) Nach welcher Zeit würde das Becken überlaufen, falls die Zeitbeschränkung aufgehoben würde? |
das habe ich bereits:
zu a) Nullstellen --> Zeitpunkte, bei denen weder Wasser zu- noch abläuft
mit N1(0/0), N2(5/0), N3(8/0)
Extremwerte --> maximaler Zu. bzw. Abfluss (Hochpunkt --> Zulauf, Tiefpunkt --> Ablauf)
Hochpunkt (2/36), Tiefpunkt ((20/3) / (-400/27))
zu c) Integral von 0 bis 3 von f(t) plus Wassermenge, die bereits im Becken ist (8 mal 5 mal 0,1)
V (gesamt)=349/4
zu d) Integral von 0 bis 9 = h mal 8 mal 5
Gesamthöhe =h + 0,1
Gesamthöhe=2,63
zu e) Wie kann ich die maximale Wassermenge berechnen? Meine Funktion f(t) gibt nur die Zulaufrate an... Ich weiß nicht, wie ich auf eine Funktion kommen soll, die mir die Wassermenge angibt. Könnt ihr mir da bitte helfen? (Wenn die Funktion errechnet wurde, muss ich über die erste und zweite Ableitung des Integrals der Funktion im intervall 0 bis t das maximum betsimmen, aslo wie man weitermacht, ist mir schon klar).
f) Brauche ich hier die gleiche Funktion wie in e)? Ich denke, dass ich die dann gleichsetzen muss mit dem Beckenvolumen, also mit 8 mal 5 mal 3..., oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mi 25.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Schneggelsche,
schon eine etwas merkwürdige Aufgabe, zwischendurch scheint jemand den Stöpsel herauszuziehen ..., denn, wie Du richtig berechnest, sinkt der Wasserspiegel zwischen 5 und 8 Stunden wieder. Naja, sei es wie es will. Bis d) einschl. habe ich die gleichen Werte raus wie Du, wenn ich annehme, dass "zu Beginn" bedeutet "zum Zeitpunkt t=0".
Bei e) allerdings eröffnen sich 2 mögliche Interpretationen: die maximale Wassermenge ist 8 x 5 x 3 = 120 [mm] m^{3}, [/mm] dann ist das Becken einfach randvoll, oder das was Du wohl im Kopf hattest: wie hoch ist die maximale Wassermenge,die innerhalb der 9 Stunden erreicht wird? Die Mathematik an unseren Schulen krankt leider unter vielem anderen an ihren unexakten Formulierungen und Aufgabenstellungen!
Gehen wir von Deiner Auffassung aus, dann ist die Füllmenge F(T), die von der Füllzeit T abhängt ja gerade das Integral von 0 bis T; dies hast Du ja schon ausgenutzt, nur mit T als fester Zahl (einmal 3 und einmal 9). Somit bekommst Du eine Funktion F(T) = [mm] \integral_{0}^{T}{f(t) dt}, [/mm] für die Du dann innerhalb des Intervalls von 0 bis 9 das (absolute) Maximum zu bestimmen hast (das liegt entweder beim relativen Maximum oder an den Rändern 0 oder 9)...
Die letzte Aufgabe f) allerdings ist etwas merkwürdig. Du sagst richtig, dass Du hier diegleiche Funktion wie bei e) benutzen musst, letztlich gilt es die Gleichung F(T) = 120 - (8x5x1/10) zu lösen. Dies ist allerdings eine Gleichung 4ten Grades und da weiß ich nicht, welche Verfahren Du zur Verfügung hast oder einen genialen Taschenrechner?
Numerisch gelöst kommt bei mir 9,33 h raus.
Gruß
Uli
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Hallo,
Wenn ich bei e) das Inegral, das vorgeschlagen wurde, berechne, komme ich auf einen Wert von 118,58 für das maximale Volumen. Kann das sein? Bei f) komme ich mit der Vorgabe der Funktion 4. Grades mit Nullstellenberechnung über den Taschenrechner auch auf den Wert 9,33 Stunden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Do 26.11.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Schneggelsche,
> Hallo,
> Wenn ich bei e) das Inegral, das vorgeschlagen wurde,
> berechne, komme ich auf einen Wert von 118,58 für das
> maximale Volumen. Kann das sein?
Das Ergebnis habe ich auch. Du hast ja hoffentlich auch mit dem Randwert, also der Wassermenge nach 9 Stunden verglichen? Dann ist alles richtig.
Gruß
Sigrid
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