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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 09.11.2004 | | Autor: | Jennifer |
Ähm könnte jemand versuchen die aufgabe zu lösen und mir den lösungsweg verständlich machen? :/ Ich habe wirklich versucht wenigstens Lösungsansätze rauszubekommen, aber es hat nur dazu gereicht, die zwei Punkte auszurechnen. P(-1;19) und S(0;6) aber das ist bestimmt auch falsch, da ja das merkwürdige y noch am ende steht :/
Durch die Punkte P und S verläuft eine Sekante des graphen von f. Zu der Sekante ist eine parallele Tangente gezeichnet.Berechnen sie den Berührungspunkt B!
f(x)=4x²-9x+6 ´
P(-1; y)
S(0; y)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 09.11.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo Jennifer, hallo fugre,
> Ähm könnte jemand versuchen die aufgabe zu lösen und mir
> den lösungsweg verständlich machen? :/ Ich habe wirklich
> versucht wenigstens Lösungsansätze rauszubekommen, aber es
> hat nur dazu gereicht, die zwei Punkte auszurechnen.
> P(-1;19) und S(0;6) aber das ist bestimmt auch falsch, da ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ja das merkwürdige y noch am ende steht :/
nicht so verzagt  , die Punkte liegen auf dem Graphen, also hast du
ihre Koordinaten richtig bestimmt.
> Durch die Punkte P und S verläuft eine Sekante des graphen
> von f. Zu der Sekante ist eine parallele Tangente
> gezeichnet.Berechnen sie den Berührungspunkt B!
>
>
> f(x)=4x²-9x+6 ´
> P(-1; y)
> S(0; y)
>
>
Hallo Jennifer,
der erste Ansatz war schon richtig. Das mit dem y ist ganz einfach zu erklären.
Eine Punkt hat ja 2 Koordinaten den x-Wert, also die Zahl die in die Funktion eingesetzt wird und einen y-Wert, der auch als Funktionswert bezeichnet werden.
Deshalb wird auch allgemein gesagt, dass ein Punkt die Koordinaten (x/y) oder (x/f(x)) habe. So viel zu dem y.
So bei Parabeln zweiter Ordnung ist die Sekantensteigung immer gleich der Steigung im Punkt genau zwischen den beiden Punkten, genauer gesagt zwischen der mittlere x-Wert.
Wir suchen also einen Punkt in dem die Steigung (, also auch die seiner Tangente) genau so groß ist wie die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Schnittpunkent der Sekante. Denn parallel sind Sekante und Tangente nur, wenn sie die gleiche Steigung haben.
Die Steigung im Punkt P ist $ f'(-1)=-8-9=-17 $ in S ist die Steigung $ f'(0)=-9 $ . Jetzt errechnen wir den Durchschnitt, also die Durchschnittsteigung m und erhalten
$ m=(f'(-1)+f'(0))/2=-13 $ . Nun wissen wir, dass diese Steigung der Steigung im Punkt B entspricht und wir suchen nach dem $ [mm] x_B [/mm] $ welches den x-Wert des Punktes darstellt.
$ [mm] f'(x_B)=m=8x_B-9=-13 [/mm] $
Hier unterliegst du, fugre, einem Irrtum!
Die gesuchte Tangente ist parallel zu der Sekante durch P und S,
sie haben also die gleiche Steigung, die sich aus der Steigung der Geraden durch P und S ergibt:
[mm] $\bruch{19-6}{-1-0}= [/mm] -15$
Nun müssen wir uns "nur noch" fragen, an welcher Stelle die Funktion die Steigung -15 hat.
Kannst du uns das ausrechnen, Jennifer?
So diese Gleichung lösen wir nach $ [mm] x_B [/mm] $ auf und erhalten $ [mm] x_B=-0,5 [/mm] $, dann setzen wir $ [mm] x_B [/mm] $ in die Funktionsvorschrift ein und erhalten auch die zweite Koordinate unseres Punktes.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar bleiben, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Gruß Informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 09.11.2004 | | Autor: | Jennifer |
kurze Zwischenfrage 19-6/-1-0 ist doch -13?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:50 Di 09.11.2004 | | Autor: | informix |
> kurze Zwischenfrage 19-6/-1-0 ist doch -13?
ja, es wird Zeit, dass ich Schluss mache ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 09.11.2004 | | Autor: | Jennifer |
Oh gott, ich komme partout auf keinen ansatz für den punkt b :/.
m=-13 soweit so gut, aber ich brauche ja immernoch den schnittpunkt. könnte -13 eventuell der "x-wert" der funktion sein, also würde B dann
B(-13;799) sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 09.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Jennifer,
Wie Informix ja schon sagte, suchst du einen Punkt, in dem die Steigung der Kurve -13 ist. (Es wäre reiner Zufall, wenn dieser Punkt auch die x-Koordinate -13 hätte.)
Die Steigung einer Kurve bekommst du durch die Ableitung. Du musst also die Ableitung bilden und ausrechnen, für welches x sie den Wert -13 hat. Also Ableitung gleich -13 setzen.
Weißt du, wie es dann weiter geht?
Gruß Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Di 09.11.2004 | | Autor: | Jennifer |
also ich habe jetzt B( [mm] \bruch{2}{3}; \bruch{16}{9}) [/mm] raus. Ich hoffe das stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Mi 10.11.2004 | | Autor: | taura |
Hi Jennifer!
Das stimmt nicht wirklich, wie bist du auf dieses Ergebnis gekommen?
Die Ableitung deiner Funktion ist 8x-9 und das soll gleich -13 sein. Also gleichsetzen und nach x auflösen.
OK?
Gruß Biggi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:48 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Jennifer |
Oh sorry jetzt sehe ich es auch. ich glaube, ich hatte gestern abend ein brett vor dem kopf. Also vielen dank nochmal an alle für die ausführliche hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo zusammen,
hallo informix
leider verstehe ich die Korrektur meines Artikels nicht.
Ich gebe zu, dass ich von hinten durch die Brust ins Auge vorgegangen bin, aber viele Wege führen nach Rom. 
(1) Ansatz: Wir machen es wie du, bestimmen mit der 2-Punktsteigungsform unsere Sekantensteigung $ [mm] m_s [/mm] $ und schauen an welchem Punkt die Punktsteigung, also $ f'(x) $ dieser entspricht, also: $ [mm] m_s=f'(x_B) [/mm] $ . Wie es weitergeht ist bekannt.
(2) Ansatz: Wir wissen (wichtig), dass es sich um eine Parabel 2. Ordnung handelt. Jetzt gilt Folgendes: Die Steigung der Sekante ist gleich der Durchschnittssteigung der Schnittpunkte bzw. derer Tangenten! So können wir auch auf die Sekantensteigung schließen, also $ [mm] m_s=(f'(-1)+f'(0))/2 [/mm] $ . Wie es weitergeht ist bekannt.
(3) Ansatz: Wir machen es ähnlich wie in 2 und errechnen erst die Funktionsforschriften der Tangenten zum Punkt P und S, also $ [mm] t_P [/mm] $ und $ [mm] t_S [/mm] $ .
Nun betrachten wir den Schnittpunkt dieser beiden Tangenten $ [mm] t_P [/mm] $ und $ [mm] t_S [/mm] $ . Nun werden wir mehr oder weniger erstaunt feststellen, dass wir uns auch auf diesem Weg dem Ergebnis für $ [mm] x_B [/mm] $ nähern, denn der Schnittpunkt dieser beiden Tangenten hat als x-Koordinate $ [mm] x_B [/mm] $ . Wie esweiter geht ist bekannt.
PS: Informix wir kommen auf die gleichen Ergebnisse von Anfang an.
Liebe Grüße
Fugre
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