Anwendung-Vektorberrechnung < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Sa 04.02.2006 | | Autor: | satsch |
| Aufgabe | | Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seiten [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vec{c}, \overline{BC} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \overline{CA} [/mm] = [mm] \vec{b}. [/mm] Beweise die Behauptung, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{MbMa} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vec{c}. [/mm] (Mb = Mittelpunkt [mm] \vec{b} [/mm] und Ma = Mittelpunkt [mm] \vec{a}) [/mm] |
Hey,
kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen kann? Wir dürfen es lediglich über Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Erweitern von Vektoren machen. (bzw. vergleichbares Umformen der Vektoren).
Danke schon mal im Vorraus
Liebe Grüße satsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Sa 04.02.2006 | | Autor: | Lolli |
> Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seiten [mm]\overline{AB}[/mm] =
> [mm]\vec{c}, \overline{BC}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\overline{CA}[/mm] =
> [mm]\vec{b}.[/mm] Beweise die Behauptung, dass der Vektor
> [mm]\overrightarrow{MbMa}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \vec{c}.[/mm] (Mb =
> Mittelpunkt [mm]\vec{b}[/mm] und Ma = Mittelpunkt [mm]\vec{a})[/mm]
> Hey,
Hi
> kann mir jemand sagen, wie ich diese Aufgabe lösen kann?
> Wir dürfen es lediglich über Addition, Subtraktion,
> Multiplikation, Division und Erweitern von Vektoren machen.
> (bzw. vergleichbares Umformen der Vektoren).
Für [mm] \overrightarrow{OM_{a}} [/mm] kann man auch schreiben: [mm] \bruch{1}{2} \vec{a}.
[/mm]
Für [mm] \overrightarrow{OM_{b}} [/mm] ließe sich dann schreiben: [mm] \bruch{1}{2} \vec{b}.
[/mm]
Wenn du dir noch ne Skizze gemacht hast, dann erkennst du vielleicht, dass man für [mm] \vec{b} [/mm] auch schreiben kann [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{c}.
[/mm]
Jetzt weißt du noch, dass [mm] \overrightarrow{M_{b}M_{a}} [/mm] den differenzvektor [mm] \overrightarrow{M_{b}M_{a}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OM_{a}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM_{b}} [/mm] beschreibt.
Ersetzt du nun diese anteiloe des Differenzvektors durch die oben aufgeführten "Umwandlungen" so kommst du auf [mm] \bruch{1}{2} \vec{c}.
[/mm]
> Danke schon mal im Vorraus
> Liebe Grüße satsch
Lolli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 05.02.2006 | | Autor: | satsch |
Hallo Lolli,
erst schonmal vielen Dank.
Aber ich hab da noch ein paar Unstimmigkeiten/ Fragen:
> Für [mm]\overrightarrow{OM_{a}}[/mm] kann man auch schreiben:
> [mm]\bruch{1}{2} \vec{a}.[/mm]
Könnte man auch schreiben?:
[mm] \overrightarrow{MaC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vec{a}
[/mm]
bzw.
> Für [mm]\overrightarrow{OM_{b}}[/mm] ließe
> sich dann schreiben: [mm]\bruch{1}{2} \vec{b}.[/mm]
>
[mm] \overrightarrow{CMb} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] ?
> Wenn du dir noch ne Skizze gemacht hast, dann erkennst du
> vielleicht, dass man für [mm]\vec{b}[/mm] auch schreiben kann
> [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{c}.[/mm]
>
Ich habe mir ne Skizze gemacht, komme aber auf Folgendes:
[mm] -\vec{b} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{c}, [/mm] da
[mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] = - [mm] \vec{a}
[/mm]
bzw. [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] = 0
> Jetzt weißt du noch, dass [mm]\overrightarrow{M_{b}M_{a}}[/mm] den
> differenzvektor [mm]\overrightarrow{M_{b}M_{a}}[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{OM_{a}}[/mm] - [mm]\overrightarrow{OM_{b}}[/mm]
> beschreibt.
> Ersetzt du nun diese anteiloe des Differenzvektors durch
> die oben aufgeführten "Umwandlungen" so kommst du auf
> [mm]\bruch{1}{2} \vec{c}.[/mm]
--> ganau darauf komme ich dann eben nicht mehr!
Danke schon mal im Vorraus
Liebe Grüße satsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 05.02.2006 | | Autor: | Lolli |
Beginnen wir noch einmal bei [mm] \overrightarrow{M_{b}M_{a}}:
[/mm]
[mm] \overrightarrow{M_{b}M_{a}} [/mm] entspricht : [mm] \overrightarrow{OM_{a}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM_{b}}.
[/mm]
Es gilt für [mm] \overrightarrow{OM_{a}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OC})
[/mm]
und für [mm] \overrightarrow{OM_{b}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OA}).
[/mm]
Ersetzen wir das nun oben, erhält man:
[mm] \overrightarrow{M_{b}M_{a}} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OM_{a}} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OM_{b}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OB} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OC}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OC} [/mm] + [mm] \overrightarrow{OA}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OB} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OA})
[/mm]
Da man für [mm] \vec{c} [/mm] auch schreiben kann [mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OB} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OA}
[/mm]
ergibt sich [mm] \bruch{1}{2} (\overrightarrow{OB} [/mm] - [mm] \overrightarrow{OA}) [/mm] zu [mm] \bruch{1}{2} \vec{c}.
[/mm]
Zu deinem Artikel sei noch gesagt, dass das was du geschrieben hast richtig ist; sowohl die für Umschreibungen von [mm] \bruch{1}{2} \vec{b} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2} \vec{a} [/mm] als auch die Aussage [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] = 0 (bin in meiner Skizze nen bisschen durcheinander gekommen, tut mir wirklich leid; sorry - kann schon mal passieren ) sind richtig.
mfg Lolli
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