Anstoßen von Gläsern.. < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 28.07.2010 | | Autor: | evils |
| Aufgabe | Anlässlich des festlichen Winterballs hält der Rektor der FAU eine Rede vor den 200 Gästen
a) Als besonderen Gag lässt sich der Rektor einfallen, dass jeder mit jedem einmal anstoßen soll. Wie oft werden die Gläser erklingen? |
stimmt es nach dieser Formel zu rechnen?
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] n (n-1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] 200 (200 -1) = 19900
wenn ja, welche Regel ist das? wo ordnet man diese Formel ein?
danke schonmal..
lg Susi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Mi 28.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Anlässlich des festlichen Winterballs hält der Rektor der
> FAU eine Rede vor den 200 Gästen
> a) Als besonderen Gag lässt sich der Rektor einfallen,
> dass jeder mit jedem einmal anstoßen soll. Wie oft werden
> die Gläser erklingen?
> stimmt es nach dieser Formel zu rechnen?
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] n (n-1) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] 200 (200 -1) = 19900
Ja
>
> wenn ja, welche Regel ist das? wo ordnet man diese Formel
> ein?
Ist k eine natürliche Zahl, so gilt:
(*) $1+2+...+k= [mm] \bruch{k(k+1)}{2}$
[/mm]
Das kannst Du entweder induktiv einsehen, oder wie der kleine Gauss das (angeblich) gemacht hat:
Sei
$S:=1+2+3+...+k$ (1)
dann gilt auch:
$S=k+(k-1)+...+1$ (2)
Wenn Du die Gleichungen (1) und (2) addierst, so erhälst Du:
$2S= (k+1)k$
Jetzt zu Deiner Aufgabe: die Gäste nummerieren wir durch: [mm] G_1,G_2, [/mm] ..., [mm] G_{200}.
[/mm]
Da [mm] G_1 [/mm] nicht mit sich selbst anstößt, stößt [mm] G_1 [/mm] mit 199 Gästen an.
Da [mm] G_2 [/mm] nicht mit sich selbst anstößt und mit [mm] G_1 [/mm] schon angestoßen hat, stößt [mm] G_2 [/mm] mit 198 Gästen an.
Da [mm] G_3 [/mm] nicht mit sich selbst anstößt und mit [mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] schon angestoßen hat, stößt [mm] G_3 [/mm] mit 197 Gästen an.
...
...
[mm] G_{199} [/mm] stößt nur noch mit 1 Gast an, nämlich mit [mm] G_{200}.
[/mm]
Nun hat auch [mm] G_{200} [/mm] mit allen angestoßen.
Nun mußt Du nur noch die unterstrichenen Zahlen aufsummieren und (*) benutzen.
FRED
P.S: Zu Übungszwecken: oben steht: jeder soll mit jedem anstoßen. Genau genommen bedeutet das: jeder Gast stößt auch mit sich selbst an (dann braucht jeder Gast 2 Gläser !). Wie ist in diesem Fall die obige Rechnung zu modifizieren ?
Offen bleibt ob der Rektor mitanstößt. Falls die der Fall sein sollte, wie sieht dann die Rechnung aus ?
>
> danke schonmal..
> lg Susi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 Mi 28.07.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Anlässlich des festlichen Winterballs hält der Rektor der
> FAU eine Rede vor den 200 Gästen
> a) Als besonderen Gag lässt sich der Rektor einfallen,
> dass jeder mit jedem einmal anstoßen soll. Wie oft werden
> die Gläser erklingen?
> stimmt es nach dieser Formel zu rechnen?
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] n (n-1) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] 200 (200 -1) = 19900
>
> wenn ja, welche Regel ist das? wo ordnet man diese Formel
> ein?
>
Also ich vereinfache mal das Problem: Es gibt 18 Fußballteams von denen 1-mal jeder gegen jeden spielen soll, wie viele Spiele gibt es also?
Nun überlegt man sich, wie zum Beispiel ein Spieltag aussieht:
T1 - T2
T3 - T4
T5 - T6
T7 - T8
T9 - T10
T11 - T12
T13 - T14
T15 - T16
T17 - T18
Macht also 18:2 = 9 Partien pro Spieltag.
Nun spielt jedes der 18 Teams gegen 17 andere Teams, sprich wir finden 17 solcher Spieltage... macht also alles in allem: (18:2) *17= 153 Spiele.
(In der Bundesliga gibts dann doppelt so viele Spiele, weil jeder gegen jeden einmal zu Hause und einmal auswärts antritt.)
Hier beim Anstoßen der Gläser hast du im Grunde ein analoges Problem...
Viele Grüße
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