Ansatz v Typ der rechten Seite < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es wurde das inhomogene lineare DGL-System mittels Variation der Konstanten gelöst:
[mm] \vec{x'} [/mm] = [mm] \pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Begründen Sie nun, warum der Ansatz [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] hier nicht zum Ziel führt. |
Ich habe das ganze erstmal rein rechnerisch mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite untersucht. Das sieht so aus:
[mm] y_{p}(t) [/mm] = [mm] e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b}
[/mm]
[mm] 6e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] * [mm] e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] + [mm] e^{6t} [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
6 * [mm] \vec{v} [/mm] = A * [mm] \vec{v} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
A * [mm] \vec{v} [/mm] - 6 * [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
(A - 6E) * [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] (\pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 } [/mm] - [mm] \pmat{ 6 & 0 \\ 0 & 6 }) [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 }) [/mm] * [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
Daraus ergibt sich nach Anwendung von Gauss:
I) a + b = 0
II) 0 + 0 = -1
Dadurch sieht man ja, dass dies nicht lösbar ist.
Wie kann ich nun aber OHNE diese Rechnung zeigen und begründen, dass der oben gennante Ansatz nicht zum Ziel führt??? Gibt es gewisse Bedingungen für den Ansatz vom Typ der rechten Seite, die hier im Ansatz bereits nicht erfüllt sind?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Torrente85,
> Es wurde das inhomogene lineare DGL-System mittels
> Variation der Konstanten gelöst:
>
> [mm]\vec{x'}[/mm] = [mm]\pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 }[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] + [mm]e^{6t}[/mm] *
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> Begründen Sie nun, warum der Ansatz [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]e^{6t}[/mm] *
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] hier nicht zum Ziel führt.
> Ich habe das ganze erstmal rein rechnerisch mit dem Ansatz
> vom Typ der rechten Seite untersucht. Das sieht so aus:
>
> [mm]y_{p}(t)[/mm] = [mm]e^{6t}[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm]
>
> [mm]6e^{6t}[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 }[/mm] *
> [mm]e^{6t}[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] + [mm]e^{6t}[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
>
> 6 * [mm]\vec{v}[/mm] = A * [mm]\vec{v}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> A * [mm]\vec{v}[/mm] -
> 6 * [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
> (A - 6E) * [mm]\vec{v}[/mm] =
> [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm](\pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 }[/mm] - [mm]\pmat{ 6 & 0 \\ 0 & 6 })[/mm] *
> [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 })[/mm] * [mm]\vektor{a \\ b}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> Daraus ergibt sich nach Anwendung von Gauss:
>
> I) a + b = 0
> II) 0 + 0 = -1
>
> Dadurch sieht man ja, dass dies nicht lösbar ist.
>
> Wie kann ich nun aber OHNE diese Rechnung zeigen und
> begründen, dass der oben gennante Ansatz nicht zum Ziel
> führt??? Gibt es gewisse Bedingungen für den Ansatz vom Typ
> der rechten Seite, die hier im Ansatz bereits nicht erfüllt
> sind?
Ganz ohne Rechnung wird es nicht gehen.
Wenn Du die Eigenwerte der Matrix
[mm]\pmat{ 7 & 1 \\ -1 & 5 }[/mm]
berechnest, dann wirst Du sehen, weshalb der Ansatz für die inhomogene Lösung nicht funktioniert.
> Danke für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
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