Ansatz v Typ d rechten Seite < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | Beispiel:
[mm]u''(x)+u(x)=cos(wx)[/mm]
Im Ansatz [mm]b(x)=b_1(x)+b_2(x)=q_1(x)e^{µ_1x}+q_2(x)e^{µ_2x}[/mm] ist also [mm]\mu_1=0[/mm] , [mm] \mu_2=w[/mm] , [mm] q_1(x)=1[/mm] und [mm]q_2(x)=0[/mm] zu setzen.
1. Fall: [mm]w\neq\pm1[/mm] d.h. wenn [mm]\mu=\pm iw [/mm] nicht Nullstelle des char. Polynoms [mm]p(\lambda) = \lambda^2+1[/mm] ist, so erhalten wir aus dem Ansatz [mm]u(x)=a cos(wx)+b sin(wx)[/mm] die Identität
[mm]u''(x)+u(x)=a(1-w^2)cos(\mu x)+b(1-w^2)sin(\mu x)[/mm]
Durch Koffizientenvergleich sehen wir, dass u eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist, wenn wir [mm]a=\bruch{1}{1-w^2}[/mm] und [mm]b=0[/mm] wählen.
2. Fall Wenn w=1 ist mussen wir den Ansatz modifizieren zu [mm]u(x)=ax cos(wx) + bx sin(wx)[/mm] , da x=1 die Vielfachheit 1 als Nullstelle von [mm]p(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-1) [/mm] besitzt.Nun erhalten wir [mm]u''(x)+u(x)=-2a sin x + 2b cos x[/mm]
Mit a=0 und b=0,5 ist u(x)=0,5 sin x eine partikuläre Lösung. Beachte den wichtigen qualitativen Unterschied des linearen Anstieges der Amplitude bei wachsendem x im Resonanzfall. |
Anhand von diesem Beispiel sollte ich eigentlich verstehen, wie die Bestimmung einer partikulären Lösung mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite geht... kennt vielleicht jemand eine Seite, die dies anders erklärt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | | Im Ansatz $ [mm] b(x)=b_1(x)+b_2(x)=q_1(x)e^{µ_1x}+q_2(x)e^{µ_2x} [/mm] $ ist also $ [mm] \mu_1=0 [/mm] $ , $ [mm] \mu_2=w [/mm] $ , $ [mm] q_1(x)=1 [/mm] $ und $ [mm] q_2(x)=0 [/mm] $ zu setzen. |
mir ist nicht klar, wie man die Zahlen q und µ erraten kann. Wisst ihr das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Sa 18.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Im Ansatz
> [mm]b(x)=b_1(x)+b_2(x)=q_1(x)e^{µ_1x}+q_2(x)e^{µ_2x}[/mm] ist also
> [mm]\mu_1=0[/mm] , [mm]\mu_2=w[/mm] , [mm]q_1(x)=1[/mm] und [mm]q_2(x)=0[/mm] zu setzen.
>
> mir ist nicht klar, wie man die Zahlen q und µ erraten
> kann. Wisst ihr das?
richtig wohl
[mm] $b(x)=b_1(x)+b_2(x)=q_1(x)e^{\mu_1x}+q_2(x)e^{\mu_2x}$ [/mm]
was die q dabei bedeuten, muss irgenwo vorher stehen, vielleicht die funktionen die auf der rechten Seite stehen?
die Anwendung auf cos und sin unten ist dann klarer . so nur als Auszug eines skrips oder Buches weiss man ja nicht wie es sich auf das vorige bezieht,
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | $ [mm] u''(x)+u(x)=a(1-w^2)cos(\mu x)+b(1-w^2)sin(\mu [/mm] x) $
Durch Koffizientenvergleich sehen wir, dass u eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist, wenn wir $ [mm] a=\bruch{1}{1-w^2} [/mm] $ und $ b=0 $ wählen. |
Ich kenne den koeffizientenvergleich von Aufgaben mit diesem Prinzip:
[mm] $ax^3+bx=cx^4+dx^3+e
[/mm]
$ [mm] 0*x^4=cx^4 \Rightarrow [/mm] c=0 $
[mm] $ax^3=dx^3 \rightarrow [/mm] a=d $
und so weiter.
Was ist hier der Koeffizientenvergleich? Was wird mit was verglichen?
LG Philipp
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Hallo pppppp,
> [mm]u''(x)+u(x)=a(1-w^2)cos(\mu x)+b(1-w^2)sin(\mu x)[/mm]
Hier muss doch wohl [mm]w=\mu[/mm] sein.
>
> Durch Koffizientenvergleich sehen wir, dass u eine Lösung
> der inhomogenen Differentialgleichung ist, wenn wir
> [mm]a=\bruch{1}{1-w^2}[/mm] und [mm]b=0[/mm] wählen.
>
> Ich kenne den koeffizientenvergleich von Aufgaben mit
> diesem Prinzip:
> [mm]$ax^3+bx=cx^4+dx^3+e[/mm]
> [mm]0*x^4=cx^4 \Rightarrow c=0[/mm]
> [mm]ax^3=dx^3 \rightarrow a=d[/mm]
> und
> so weiter.
>
> Was ist hier der Koeffizientenvergleich? Was wird mit was
> verglichen?
Hier wird
[mm]a(1-w^2)cos(\mu x)+b(1-w^2)sin(\mu x)[/mm]
mit
[mm]\cos\left(\mu*x\right)[/mm]
verglichen.
Demnach steht da:
[mm]a(1-w^2)cos(\mu x)+b(1-w^2)sin(\mu x)=\cos\left(\mu*x\right=[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert:
[mm]a*\left(1-w^{2}\right)=1[/mm]
[mm]b*\left(1-w^{2}\right)=0[/mm]
Da [mm]w \not= 1[/mm] ergeben sich die Koeffizienten a,b wie angegeben.
> LG Philipp
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:56 Sa 18.12.2010 | | Autor: | pppppp |
Sehr Geil ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 16.12.2010 | | Autor: | pppppp |
| Aufgabe | | Mit a=0 und b=0,5 ist u(x)=0,5 sin x eine partikuläre Lösung. |
Durch welche Rechnung erhält man a und b? Ist dies wieder der Koffizientenvergleich, den ich nicht verstanden habe?
Gruß Philipp
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Hallo pppppp,
> Mit a=0 und b=0,5 ist u(x)=0,5 sin x eine partikuläre
> Lösung.
Dies kann keine partikuläre Lösung der DGL
[mm]u''(x)+u(x)=cos(wx) [/mm]
sein.
Vielmehr ist das eine spezielle Lösung der DGL
[mm]u''(x)+u(x)=\blue{0} [/mm]
mit den Anfangsbedingungen: [mm]u\left(0\right)=0, \ u'\left(0\right)=0.5[/mm]
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> Durch welche Rechnung erhält man a und b? Ist dies wieder
> der Koffizientenvergleich, den ich nicht verstanden habe?
>
> Gruß Philipp
>
Gruss
MathePower
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