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Ansatz für Extremwertaufgabe: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 13.02.2005
Autor: andy009

Hallo!

Ich habe folgende Extremwertaufgabe:
Ein Auto fährt vom Punkt A (0/0) [km] weg in Richtung x-Achse.
Es soll schließlich im Punkt B (7/4) [km] ankommen.
In Richtung der x-Achse kann es 60 km/h fahren, sonst nur 30 km/h.
Die Frage ist nun wo soll das Auto die x-Achse verlassen, damit es am schnellsten von A nach B kommt?

Wie setze ich dieses Beispiel an? Bitte um Hilfe!

Danke!

mfg andy

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ansatz für Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 13.02.2005
Autor: Zwerglein

Hi, andy,

also gut: Beim Ansatz helf' ich Dir; ausrechnen musst Du's selbst: zumindest ernsthaft versuchen.
Also: Das Auto fährt zunächst längs der x-Achse bis zum Punkt P(x; 0).
(Dabei ist logischerweise 0<x<7).
Dann biegt es schräg in Richtung B ab (wohin es geradlinig fährt!)
Skizzier' Dir die Situation mal. Du wirst erkennen, dass da ein rechtwinkliges Dreieck PDB entsteht mit rechtem Winkel bei D(7;0).
Die Katheten dieses Dreiecks sind: DB=4 und CD=7-x. (Nachdenken!!)

Nun soll die Gesamtzeit t minimal sein. Diese besteht aber aus der Zeit [mm] t_{1}, [/mm] währende der das Auto mit 60km/h in x-Richtung fährt und der Zeit [mm] t_{2}, [/mm] während der das Auto mit 30 km/h schräg auf B zufährt.

Da nun [mm] v=\bruch{Weg}{Zeit} [/mm] ist, muss umgekehrt [mm] Zeit=\bruch{Weg}{v} [/mm] sein.
Also gilt  [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x}{60}. [/mm]
[mm] t_{2} [/mm] ist schwieriger, weil Du erst mit Pythagoras den zurückgelegten Weg s ausrechnen musst: [mm] s^{2}=(7-x)^{2}+4^{2}. [/mm]
Wie Du siehst, kommt für s ein Wurzelterm raus.

Daher an dieser Stelle meine Frage:
Habt Ihr Wurzelfunktionen schon diskutiert?

Wenn ja, dann musst Du ab hier weiterrechnen mit t= [mm] t_{1}+t_{2}, [/mm]
diese Funktion (t(x)!) ableiten und die Ableitung =0 setzen. Ich hab's getan und erhalt (ohne Gewähr!) für x etwa 6,116.

mfG!
Zwerglein

Bezug
                
Bezug
Ansatz für Extremwertaufgabe: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 So 13.02.2005
Autor: andy009

Vielen Dank für deine Mühe!

Nachdem ich mich lange mit der Ableitung der Wurzelfunktion gequält habe, habe ich endlich die Lösung gefunden... ;)

mfg andy

Bezug
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