Ansatz der Inhomogenität < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen sie für die folgende Dif.-Gleichung jeweils zunächst die homogene Lösung mittels des charakteristischen Polynoms. Verwenden Sie anschließend einen geeigneten Ansatz vom Typ der Inhomogenität um eine spezielle Lösung zu finden. Geben sie die Gesamtlösung an.
Gleichung: y°° = 2y° - y - t - [mm] t^2 [/mm] - cos(t) - [mm] e^t
[/mm]
[y°° = Ypsilon Zweipunkt, y°= ... ]
Welchen Ansatz der Inhomogenität muss ich denn hier wählen?? Das t irritiert mich! =/ Gibt es da eienn Trick?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 14.01.2009 | | Autor: | DER-Helmut |
IUst das unten so richtig?
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| Aufgabe | | Zur homogenen Lösung |
Zur homogenen Lösung:
$ [mm] \lambda^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}\lambda [/mm] $ + 1 = 0
$ [mm] \lambda [/mm] $ = 1 v -1
Das schonmal soweit richtig?
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Hallo DER-Helmut,
> Zur homogenen Lösung
> Zur homogenen Lösung:
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> [mm]\lambda^2[/mm] - [mm]2\cdot{}\lambda[/mm] + 1 = 0
> [mm]\lambda[/mm] = 1 v -1
>
>
> Das schonmal soweit richtig?
Leider nein.
Das charakteristische Polynom ist ein vollständiges Quadrat:
[mm]\lambda^{2}-2\lambda+1=\left(\lambda-1\right)^{2}=0[/mm]
Damit ergibt sich [mm]\lambda=1[/mm] als zweifache Nullstelle.
Demnach Lösung der homogenen DGL:
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*e^{t}+c_{2}*t*e^{t}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Wie komm ich am Schluss auf:
[mm] y\left(t\right)=c_{1}\cdot{}e^{t}+c_{2}\cdot{}t\cdot{}e^{t} [/mm]
...und was heißt: "charakteristische Polynom ist ein vollständiges Quadrat - wodran seheh ich das?
Danke im Vorraus!
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Hallo DER-Helmut,
> Wie komm ich am Schluss auf:
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> [mm]y\left(t\right)=c_{1}\cdot{}e^{t}+c_{2}\cdot{}t\cdot{}e^{t}[/mm]
Man macht für eine Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten den Ansatz
[mm]y\left(t\right)=e^{\lambda t}[/mm]
Dies führt dann hier auf
[mm]\left(\lambda^{2}-2\lambda+1\right)e^{\lambda t}=0[/mm]
Für den zweiten Teil der homogenen Lösung,
kann man den Ansatz [mm]y\left(t\right)=p\left(t\right)*e^{t\[/mm] machen.
Dies führt dann auf
[mm]p''=0[/mm]
Welche als Lösung [mm]p\left(t\right)=C_{1}*t+C_{2}[/mm] besitzt.
Somit ergibt sich die Lösung der homogenen DGL zu:
[mm]y\left(t\right)=p\left(t\right)*e^{t}=C_{1}*t*e^{t}+C_{2}*e^{t}[/mm]
> $
> Danke im Vorraus!
>
Gruß
MathePower
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Hallo DER-Helmut,
> Bestimmen sie für die folgende Dif.-Gleichung jeweils
> zunächst die homogene Lösung mittels des charakteristischen
> Polynoms. Verwenden Sie anschließend einen geeigneten
> Ansatz vom Typ der Inhomogenität um eine spezielle Lösung
> zu finden. Geben sie die Gesamtlösung an.
>
> Gleichung: y°° = 2y° - y - t - [mm]t^2[/mm] - cos(t) - [mm]e^t[/mm]
>
>
> [y°° = Ypsilon Zweipunkt, y°= ... ]
>
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> Welchen Ansatz der Inhomogenität muss ich denn hier
> wählen?? Das t irritiert mich! =/ Gibt es da eienn Trick?
>
Hier ist [mm]y=y\left(t\right)[/mm]
Der Ansatz richtet sich hier nach der Störfunktion.
Allerdings ist zu beachten, wenn die Störfunktion oder ein Glied von ihr
zugleich Lösung der homogenen DGL (Resonanzfall) ist, dann ist der Ansatz
entsprechend der Vielfachheit zugehörigen Nullstelle des charakeristischen
Polynoms zu wählen.
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Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Und wie lautet der Ansatz?
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Kann mir darunter leider nicht viel vorstellen =(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Mi 14.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) man sollte die bin. Formeln kennen [mm] r^2-2r+^=(r-1)^2 [/mm]
b) mach die Ansätze für die 4 addierten fkt. einzeln. also erstmal nut -t rechts. dann y=a+b*t als Ansatz.
dann die [mm] t^2 [/mm] Ansatz [mm] at^2+bt+c
[/mm]
dann den sin usw. irgendwas über so Ansätze müsst ihr doch gelernt haben? Also gib dein Wissen preis. wir helfen machen aber nicht einfach deine HA
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mi 14.01.2009 | | Autor: | DER-Helmut |
Danke habs ;)
Habs beim ersten mal nciht verastanden, sorry
Dankeschön!
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