Ansatz Partialbruchzerlegung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 So 18.01.2009 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{2-x}{x^{3}-2x^{2}+x}} [/mm] |
Hallo,
ich soll folgendes Integral mittels Partialbruchzerlegung berechnen.
Zunächst bestimme ich als die Nullstellen des Nenners. ALso wird zuerst x ausgeklammer: [mm] 0=x(x^{2}-2x+1)
[/mm]
Somit ist meine erste Nullstelle: [mm] x_{0}=0, [/mm] die Nullstellen der Klammer berechne ich mit p/q-Formel und komme auf [mm] x_{1,2}=1+\wurzel{0}.
[/mm]
Hab ich als 3 Nullstellen, eine bei 0 und eine doppelte bei 1.
Wie komm ich jetzt von diesen Nullstellen auf meinen Ansatz? Bisher hatte ich nur einfache Nullstellen, die ungleich 0 warenl. Jetzt weiß ich nicht wie ich mit der 0 und der doppelten 1 umzugehen hab.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 18.01.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral{\bruch{2-x}{x^{3}-2x^{2}+x}}[/mm]
> Hallo,
>
> ich soll folgendes Integral mittels Partialbruchzerlegung
> berechnen.
>
> Zunächst bestimme ich als die Nullstellen des Nenners. ALso
> wird zuerst x ausgeklammer: [mm]0=x(x^{2}-2x+1)[/mm]
>
> Somit ist meine erste Nullstelle: [mm]x_{0}=0,[/mm] die Nullstellen
> der Klammer berechne ich mit p/q-Formel und komme auf
Eleganter wäre die binomische Formel ...
> [mm]x_{1,2}=1+\wurzel{0}.[/mm]
>
> Hab ich als 3 Nullstellen, eine bei 0 und eine doppelte bei
> 1.
>
> Wie komm ich jetzt von diesen Nullstellen auf meinen
> Ansatz? Bisher hatte ich nur einfache Nullstellen, die
> ungleich 0 warenl. Jetzt weiß ich nicht wie ich mit der 0
> und der doppelten 1 umzugehen hab.
Hallo, der entsprechende Ansatz lautet ...= A/x + B/(x-1) [mm] +C/(x-1)^2
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 So 18.01.2009 | | Autor: | larifari |
Genau, das hab ich gesucht, vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 So 18.01.2009 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{2x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10}} [/mm] |
Hallo,
hab noch ein weiteres Problem mit Partialbruchzerlegung. Obige Aufgabe hab ich erst durch Polynomdivision vereinfacht und das ergibt: [mm] 2-\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}.
[/mm]
Den Bruch möchte ich mit Partialbruchzerlegung lösen, also berechne ich die Nullstellen und komme auf [mm] -3+\wurzel{-1}. [/mm] Also bin ich in komplexen Zahlenbereich. Also lautet die Zahl [mm] -3+i\wurzel{-1} [/mm] oder? Weiterhin weiß ich, dass die konjungierte Zahl dazu, auch noch eine Nullstelle ist. Aber wie geh mach ich jetzt mein Ansatz dazu? Beide Nullstellen multiplizieren?
Grüße
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Hallo larifari,
> [mm]\integral{\bruch{2x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10}}[/mm]
> Hallo,
> hab noch ein weiteres Problem mit Partialbruchzerlegung.
> Obige Aufgabe hab ich erst durch Polynomdivision
> vereinfacht und das ergibt: [mm]2-\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}.[/mm]
>
> Den Bruch möchte ich mit Partialbruchzerlegung lösen, also
> berechne ich die Nullstellen und komme auf [mm]-3+\wurzel{-1}.[/mm]
> Also bin ich in komplexen Zahlenbereich. Also lautet die
> Zahl [mm]-3+i\wurzel{-1}[/mm] oder? Weiterhin weiß ich, dass die
> konjungierte Zahl dazu, auch noch eine Nullstelle ist. Aber
> wie geh mach ich jetzt mein Ansatz dazu? Beide Nullstellen
> multiplizieren?
Der Ansatz bei einem quadratischen Polynom, das nur konjugiert komplexe Nullstellen hat lautet:
[mm]\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}=\bruch{Ax+B}{x^{2}+6x+10}[/mm]
,wobei hier A=3 und B=8 ist.
Versuche zunächst dies so zu schreiben:
[mm]\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10}=\bruch{\alpha*\left(2x+6\right)+8-\alpha*6}{x^{2}+6x+10}[/mm]
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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