Ansatz Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 24.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
ich hätte ne frage zum folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab da mal so begonnen:
[mm] \lambda^2-18*\lambda+81=0 [/mm] --> [mm] \lambda_{1,2}=+9
[/mm]
daraus ergibt sich:
[mm] y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x}
[/mm]
nur beim partikülären hab ich jetzt nicht viel plan da ich ja sin und cos im rechten term habe, bzw was ich dann mit [mm] 12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x} [/mm] machen muss.
vielleicht kann mir da jemand helfen den ansatz zu finden, danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Dagobert,
> hallo!
> ich hätte ne frage zum folgenden beispiel:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> hab da mal so begonnen:
>
> [mm]\lambda^2-18*\lambda+81=0[/mm] --> [mm]\lambda_{1,2}=+9[/mm]
>
> daraus ergibt sich:
>
> [mm]y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x}[/mm]
>
> nur beim partikülären hab ich jetzt nicht viel plan da ich
> ja sin und cos im rechten term habe, bzw was ich dann mit
> [mm]12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x}[/mm] machen muss.
>
> vielleicht kann mir da jemand helfen den ansatz zu finden,
> danke
Versuche einmal
[mm] $y_p=x^2*e^{9x}*(A*x+B)+e^{4x}*(D*cos(7x)+E*sin(7x))$
[/mm]
; ich bin mir im Moment nicht sicherwegen dem [mm] x^2; [/mm] wenn ich es nachgerechnet habe melde ich mich noch einmal.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Di 24.06.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Dagobert,
der Ansatz war richtig.
Die partikuläre Lösung lautet dann:
[mm] $y_p=e^{9x}*(2*x^3+2*x^2)+e^{4x}*(2*sin(7x)+2*cos(7x))$
[/mm]
Die Lösungsansätze bei verschiedenen Störfunktionen kannst Du nachlesen in L. Papula, Mathematik für Ingenieure & Naturwissenschaftler, Bd. II.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:12 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke dir, also ich hab das mal so angefangt:
[mm] y_H=C_1*e^{9*x}+C_2*x*e^{9*x}
[/mm]
[mm] y_P=x^2*e^{9*x}*(A*x+B)+e^{4*x}*(D*cos(7*x)+E*sin(7*x))
[/mm]
[mm] y'_P=2*x*e^{9*x}*(A*x+B)+9*x^2*e^{9*x}*(A*x+b)+x^2*e^{9*x}*A+e^{4*x}*(D*cos(7*x)+E*sin(7*x))
[/mm]
[mm] y''_P=2*e^{9*x}*(A*x+B)+36*x*e^{9*x}*(A*x+B)+4*x*e^{9*x}*A+81*x^2*e^{9*x}*(A*x+B)+18*x^2*e^{9*x}*A+4*e^{4*x}*(D*cos(7*x)*E*sin(7*x))+e^{4*x}*(-7*D*sin(7*x)+7*E*cos(7*x))
[/mm]
das hab ich dann eingsetzt und bisschen vereinfacht und komme auf:
[mm] 67*e^{4*x}*D*cos(7*x)+67*e^{4*x}*E*sin(7*x)+2*e^{9*x}*A*x+2*e^{9*x}*B+4*x*e^{9*x}*A-7*e^{4*x}*D*sin(7*x)+7*e^{4*x}*cos(7*x)=12*e^{9*x}*x+4*e^{9*x}-188*e^{4*x}*cos(7*x)+92*e^{4*x}*sin(7*x)
[/mm]
nur jetzt komme ich irgendwie nicht weiter wie ich da nen koeffizientenvergleich machen kann um A, B, C und D ausrechnen zu können. Vielleicht könnte mir da jemand helfen
danke
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Hallo Dagobert,
ich betrachte einmal nur den exponentiellem Ansatz mit [mm] Q(x)*e^{9x}:
[/mm]
[mm] $y_p=e^{9x}*(Ax^3+Bx^2)$
[/mm]
[mm] $y_p'=e^{9x}*(9A*x^3+(3A+9B)*x^2+2B*x)$
[/mm]
[mm] $y_p''=e^{9x}*(81A*x^3+(54A+81B)*x^2+(6A+36B)*x+2B)$
[/mm]
Das nun in die inhomogene DGL einsetzen:
[mm] $y''-18*y'+81y=e^{9x}*(12x+4)$
[/mm]
[mm] $e^{9x}*((81A-162A+81A)*x^3+(54A-54A+81B-162B+81B)*x^2+(6A+36B-36B)*x+2B)=e^{9x}*(12x+4)$
[/mm]
6A = 12
2B = 4
[mm] \gdw [/mm] A=2 und B=2
Dasselbe machst Du nun mit deinem trigonometrischen Funktionen:
[mm] $y_p=e^{4x}*(D*cos(7x)+E*sin(7x))$
[/mm]
$y'_p=$...
$y''_p=$...
Einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm] $y''-18*y'+81y=e^{4x}*(92*sin(7x)-188*cos(7x))$
[/mm]
Dann kommt heraus:
[mm] $e^{4x}*((-24D-70E)*cos(7x)+(70D-24E)*sin(7x))=e^{4x}*(92*sin(7x)-188*cos(7x))$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
vielen dank, hab das eben nochmal alles durchgerechnet und soweit verstanden, habe nur noch eine kleine frage. und zwar warum beim exponentiellen ansatz [mm] y_P=e^{9*x}*(A*x^3+B*x^2) [/mm] . . . [mm] x^3 [/mm] und [mm] x^2 [/mm] steht? Und nicht [mm] e^{9*x}*(A*x+B)? [/mm] also warum man vor [mm] e^{9*x} [/mm] noch ein [mm] x^2 [/mm] hat.
danke
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Hallo Dagobert,
hol dir doch einmal den ![[]](/images/popup.gif) Papula, Bd. II (s.o.) aus deiner Uni-Bibliothek; für bspw. Chemie-Studenten im Grundstudium ist der völlig ausreichend. Mehr als da drin steht weiß ich auch nicht - ich bin ja (leider) kein Mathematiker.
Da drin findest Du unter anderem eine Tabelle:
-wenn die Störfunktion eine Exponentialfunktion ist: [mm] e^{c*x}, [/mm] dann ist der Lösungsansatz:
1.) wenn c keine Lösung der charakteristischen Gleichung ist:
[mm] $y_p=A*e^{c*x}$
[/mm]
2.) wenn c eine einfache Lösung der charakteristischen Gleichung ist:
[mm] $y_p=A*x*e^{c*x}$
[/mm]
3.) wenn c eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung ist:
[mm] $y_p=A*x^2*e^{c*x}$
[/mm]
Bei deiner DGL ist 3.) der Fall: 9 ist eine doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung der homogenen DGL.
LG, Martinius
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