Ansatz Beweis durch Induktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Sa 25.04.2009 | | Autor: | Jule22 |
| Aufgabe | | Aus den Zahlen von 1 bis 100 werden 51 aufeinanderfolgende ganze Zahlen ausgewählt. Beweisen Sie, dass es in dieser Menge zwei Zahlen m und n mit m=2n gibt |
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Also ich würde gerne wissen ob meine Überlegungen zur Aufgabe überhaupt den richtigen Ansatz liefern.
Ich bin davon ausgegangen, dass es reicht wenn man zeigt das die erste der 51 aufeinander folgenden Zahlen ein Doppeltes hat, das in der Menge der aufeinander folgenden Zahlen liegt.
Demnach kann die Anfangszahl der Zahlenfolge nur 1<n<50 oder n=1 oder n=50 sein.
Die Anfangszahl kann also nur 51-n sein, wobei [mm] 1\le n\le50 [/mm] ist
Das Doppelte wäre in dem Fall 2*(51-n)
Nun müsste ich zeigen das für alle [mm] 1\le n\le50 [/mm]
[mm] 2*(51-n)\le [/mm] (51-n)+50 ist.
Das könnte ich mittels vollständiger Induktion tun.
Ich frage mich nur ob das so geht. Gut die Aussage gilt auch für n>50, allerdings würde das doppelte dann nicht mehr in den aufeinanderfolgenden 51 Zahlen liegen. Sprich ich müsste dann noch mal zeigen das für [mm] 1\le n\le50 [/mm] das Ergebnis dann auch in den aufeinander folgenden Zahlen liegt?
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Hallo Jule22,
> Ich bin davon ausgegangen, dass es reicht wenn man zeigt
> das die erste der 51 aufeinander folgenden Zahlen ein
> Doppeltes hat, das in der Menge der aufeinander folgenden
> Zahlen liegt.
Das ist richtig. Es reicht wenn du zeigst dass es eine solche Zahl gibt, denn nur das fordert die Aufgabe: Es sollen zwei Zahlen m und n mit n = 2m existieren.
> Demnach kann die Anfangszahl der Zahlenfolge nur 1<n<50
> oder n=1 oder n=50 sein.
Warum du die Fälle 1 und 50 separat aufschreibst, verstehe ich nicht, aber die Aussage ist richtig.
> Die Anfangszahl kann also nur 51-n sein, wobei [mm]1\le n\le50[/mm]
> ist
> Das Doppelte wäre in dem Fall 2*(51-n)
>
> Nun müsste ich zeigen das für alle [mm]1\le n\le50[/mm]
> [mm]2*(51-n)\le[/mm] (51-n)+50 ist.
Das ist alles etwas kompliziert. Sag doch einfach: Wir beginnen bei n zu zählen, also von (n) bis (n+50). Logischerweise muss dann [mm] n\le [/mm] 50 sein, weil ab n = 51 die Zahl (n+50) = 101 > 100 wäre. Nun musst du nur noch zeigen, dass $n [mm] \le 2n\le [/mm] n+50$ ist, denn dann liegt das Doppelte von n drin in unserer Aufzählung.
Den "schwierigen" Teil der Ungleichung, [mm] $2n\le [/mm] n+50$, zeigst du einfach durch Äquivalenzumformungen:
[mm] $2n\le [/mm] n+50$
[mm] $\gdw n\le [/mm] 50$
Das ist eine wahre Aussage, die wir am Anfang herausgefunden haben.
Viele Grüße, Stefan.
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