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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 08.07.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Es sei $R$ ein Hauptidealring, $M$ ein endlich erzeugter $R-$Modul und $Ann(M):= [mm] \{r\in R| rm=0 \forall m\in M \} [/mm] $
Zu zeigen:
(a) $Ann(M)$ Ideal in $R$
(b) $M$ Torsionsmodul genau dann, wenn $Ann(M) [mm] \neq [/mm] 0 $
(c) Ist M Torsionsmodul mit Invarianten [mm] $q_1,\ldots, q_l$ [/mm] (nach Teilbarkeit geordnet, d.h. [mm] $q_1| q_2,$ [/mm] etc.), so wird das Ideal $Ann(M)$ von [mm] $q_l$ [/mm] erzeugt. |
Zu (a):
1. Zu zeigen: [mm] $0\in [/mm] Ann(M).$
Wegen [mm] $0\in [/mm] R$ [mm] \Rightarrow $\exists r\in [/mm] R: rm=0 [mm] \forall m\in [/mm] M [mm] \Rightarrow 0\in [/mm] Ann(M)$
2. Zu zeigen: $a,b [mm] \in [/mm] Ann(M) [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in [/mm] Ann(M).$
$a [mm] \in [/mm] Ann(M) [mm] \Rightarrow [/mm] am = 0$
[mm] $b\in [/mm] Ann(M) [mm] \Rightarrow [/mm] bm=0 $
[mm] $\Rightarrow [/mm] (a-b)m = am -bm = 0 - 0 =0 [mm] \in [/mm] Ann(M) [mm] \Rightarrow [/mm] a-b [mm] \in [/mm] Ann(M)$
3. Zu zeigen: $a [mm] \in [/mm] Ann(M) [mm] \Rightarrow [/mm] am=0 [mm] \Rightarrow [/mm] r(am)=0r=0 [mm] \forall r\in [/mm] R [mm] \Rightarrow$ [/mm] ra [mm] \in [/mm] Ann(M) [mm] \forall r\in [/mm] R.$
Zu (b)
Wenn ich das richtig verstehe, habe ich hier zu zeigen:
[mm] $(\forall [/mm] m [mm] \in M\setminus \{0\} \exists r\in R\setminus \{0\}: [/mm] rm = 0 ) [mm] \Leftrightarrow Ann(M)\neq [/mm] 0 $
Wie ich das unmittelbar zeigen soll, fehlt mir leider die Fantasie dazu. Ich habe es schon versucht komme aber nicht weiter. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Di 09.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Es sei [mm]R[/mm] ein Hauptidealring, [mm]M[/mm] ein endlich erzeugter
> [mm]R-[/mm]Modul und [mm]Ann(M):= \{r\in R| rm=0 \forall m\in M \}[/mm]
> Zu zeigen:
> (a) [mm]Ann(M)[/mm] Ideal in [mm]R[/mm]
> (b) [mm]M[/mm] Torsionsmodul genau dann, wenn [mm]Ann(M) \neq 0[/mm]
> (c)
> Ist M Torsionsmodul mit Invarianten [mm]q_1,\ldots, q_l[/mm] (nach
> Teilbarkeit geordnet, d.h. [mm]q_1| q_2,[/mm] etc.), so wird das
> Ideal [mm]Ann(M)[/mm] von [mm]q_l[/mm] erzeugt.
> Zu (a):
> 1. Zu zeigen: [mm]0\in Ann(M).[/mm]
> Wegen [mm]0\in R[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\exists r\in R: rm=0 \forall m\in M \Rightarrow 0\in Ann(M)[/mm]
> 2. Zu zeigen: [mm]a,b \in Ann(M) \Rightarrow a-b \in Ann(M).[/mm]
> [mm]a \in Ann(M) \Rightarrow am = 0[/mm]
> [mm]b\in Ann(M) \Rightarrow bm=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow (a-b)m = am -bm = 0 - 0 =0 \in Ann(M) \Rightarrow a-b \in Ann(M)[/mm]
Das [mm] "$\in [/mm] Ann(M)$" gehoert hier nicht hin und ist sogar falsch, denn diese Null ist die des Moduls, waehrend $Ann(M)$ Teilmenge des Ringes ist.
>
> 3. Zu zeigen: $a [mm]\in[/mm] Ann(M) [mm]\Rightarrow[/mm] am=0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> r(am)=0r=0 [mm]\forall r\in[/mm] R [mm]\Rightarrow$[/mm] ra [mm]\in[/mm] Ann(M)
> [mm]\forall r\in[/mm] R.$
>
> Zu (b)
> Wenn ich das richtig verstehe, habe ich hier zu zeigen:
> [mm](\forall m \in M\setminus \{0\} \exists r\in R\setminus \{0\}: rm = 0 ) \Leftrightarrow Ann(M)\neq 0[/mm]
>
> Wie ich das unmittelbar zeigen soll, fehlt mir leider die
> Fantasie dazu. Ich habe es schon versucht komme aber nicht
> weiter. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Nimm zuerst an, dass [mm] $Ann(M)\neq [/mm] 0$ gilt. Sei [mm] $0\neq m\in [/mm] M$. Kannst Du jetzt die Existenz eines [mm] $0\neq r\in [/mm] R$ schlussfolgern, sodass $rm= 0$ ergibt?
Fuer die andere Richtung benoetigst Du die Voraussetzung, dass $M$ endlich erzeugt ist.
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