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| Aufgabe | A1) Sei $V$ ein endlichdimensionaler VR, seien [mm] $U_1, U_2$ [/mm] Teilräume von $V$ und seien [mm] $U_1^{\perp}, U_2^{\perp}$ [/mm] deren Annulatoren. Zeigen Sie:
a.) [mm] $(U_1 \cap U_2)^{\perp} [/mm] = [mm] U_1^{\perp} [/mm] + [mm] U_2^{\perp}$
[/mm]
b.) [mm] $\psi: [/mm] U [mm] \mapsto U^{\perp}$ [/mm] ist eine Bijektion der Menge aller Unterräume $U$ von $V$ auf die Menge aller Unterräume des Dualraums [mm] $V^\*$. [/mm] |
Hallo zusammen,
eine Aufgabe zum Thema der Annulatoren, bei der ich nicht weiß ich wie genau vorgehen sollte.
Zu a.)
Doppelte Inklusion ist sicherlich die bevorzugte Wahl, jedoch glaube ich nicht, dass sie so erfolgsbringend funktioniert.
Sei $f [mm] \in (U_1 \cap U_2)^{\perp}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] f(u) = 0 ~ [mm] \forall [/mm] u [mm] \in U_1 \cap U_2$
[/mm]
Jetzt stehe ich vor der Frage wie ich am besten weiter foranschreite, denn ich kann zwar jetzt folgern, dass $u [mm] \in U_1 \wedge [/mm] u [mm] \in U_2$ [/mm] bringt mir aber nichts im allgemeinen Fall und irgendwie kommt mir die Notation [mm] $U_1^{\perp} [/mm] + [mm] U_2^{\perp}$ [/mm] nicht koscher vor, da es sich nicht um punktweise Addition im normalen Sinne handelt.
Zu b.)
Zunächst zur Injektivität.
Seien $A, B$ Unterräume von $V$ und gelte [mm] $\psi(A) [/mm] = [mm] \psi(B)$, [/mm] so gilt [mm] $\forall [/mm] f [mm] \in A^\perp\forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B: f(b) = 0$, also $B [mm] \subseteq [/mm] A$. Analog folgt $A [mm] \subseteq [/mm] B$, also insgesamt $A = B$ durch Vertauschen von $A$ und $B$ im vorherigen Schritt.
Surjektivität bin ich mir nicht sicher wie man hier am einfachsten vorgehen kann (dass ich also alle Unterräume von [mm] V^\* [/mm] erreiche) und irgendwie zweifle ich auch an der formalen Korrektheit meines Injektivitätsbeweises.
Danke im Voraus für eure Ratschläge.
Grüße
Joe
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> A1) Sei [mm]V[/mm] ein endlichdimensionaler VR, seien [mm]U_1, U_2[/mm]
> Teilräume von [mm]V[/mm] und seien [mm]U_1^{\perp}, U_2^{\perp}[/mm] deren
> Annulatoren. Zeigen Sie:
>
> a.) [mm](U_1 \cap U_2)^{\perp} = U_1^{\perp} + U_2^{\perp}[/mm]
Hallo,
welche Eigenschaten des Annulators sind denn bereits bekannt.
Vielleicht muß man hier ja gar nicht das ganze Rad selbst erfinden.
LG Angela
> b.)
> [mm]\psi: U \mapsto U^{\perp}[/mm] ist eine Bijektion der Menge
> aller Unterräume [mm]U[/mm] von [mm]V[/mm] auf die Menge aller Unterräume
> des Dualraums [mm]V^\*[/mm].
> Hallo zusammen,
>
> eine Aufgabe zum Thema der Annulatoren, bei der ich nicht
> weiß ich wie genau vorgehen sollte.
>
> Zu a.)
> Doppelte Inklusion ist sicherlich die bevorzugte Wahl,
> jedoch glaube ich nicht, dass sie so erfolgsbringend
> funktioniert.
>
> Sei [mm]f \in (U_1 \cap U_2)^{\perp}[/mm]
> [mm]\Rightarrow f(u) = 0 ~ \forall u \in U_1 \cap U_2[/mm]
>
> Jetzt stehe ich vor der Frage wie ich am besten weiter
> foranschreite, denn ich kann zwar jetzt folgern, dass [mm]u \in U_1 \wedge u \in U_2[/mm]
> bringt mir aber nichts im allgemeinen Fall und irgendwie
> kommt mir die Notation [mm]U_1^{\perp} + U_2^{\perp}[/mm] nicht
> koscher vor, da es sich nicht um punktweise Addition im
> normalen Sinne handelt.
>
> Zu b.)
> Zunächst zur Injektivität.
> Seien [mm]A, B[/mm] Unterräume von [mm]V[/mm] und gelte [mm]\psi(A) = \psi(B)[/mm],
> so gilt [mm]\forall f \in A^\perp\forall b \in B: f(b) = 0[/mm],
> also [mm]B \subseteq A[/mm]. Analog folgt [mm]A \subseteq B[/mm], also
> insgesamt [mm]A = B[/mm] durch Vertauschen von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] im vorherigen
> Schritt.
>
> Surjektivität bin ich mir nicht sicher wie man hier am
> einfachsten vorgehen kann (dass ich also alle Unterräume
> von [mm]V^\*[/mm] erreiche) und irgendwie zweifle ich auch an der
> formalen Korrektheit meines Injektivitätsbeweises.
>
> Danke im Voraus für eure Ratschläge.
>
> Grüße
> Joe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 30.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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