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Hallo Zusammen,
Ich habe hier folgendes Investitionsprojekt
[mm]\begin{array}{c|cccc}t&0&1&2&3\\\hline Z_t&-100&70&20&60\end{array}[/mm]
Hierbei sind die [mm]Z_t[/mm] die Zahlungsüberschüsse innerhalb der Zeitpunkte 0 bis 3. Der Zinssatz sei hier [mm]r:=10\%[/mm].
Jetzt bestimmen wir den Kapitelwert:
[mm]\operatorname{KW}:=\sum_{i=0}^3{Z_{t_i}(1+r)^{-\left(t_i-t_0\right)}} = -100 + 70\cdot{1.1^{-1}} + 20\cdot{1.1^{-2}}+60\cdot{1.1^{-3}}\approx 25.24[/mm]
Daraus ermittelt man nun die Annuität:
[mm]AN=\frac{\operatorname{KW}}{\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}}} \approx 10.15[/mm]
Und jetzt steht im Skript, diese Investitionsmöglichkeit ermögliche im Fall einer reinen Kreditfinanzierung bei einem vollkommenen Kapitelmarkt ein Einkommen von 10,15 Euro während der folgenden 3 Jahre bei gleichzeitiger Tilgung der Schuld:
[mm]\begin{array}{l|rrrr}
\texttt{Zeitpunkt }t&t=0&t=1&t=2&t=3\\\hline
\texttt{Investition }Z_t&-100&70&20&60\\\hline
\texttt{Einkommen}&{}&10.15&10.15&10.15\\\hline
\texttt{Kreditaufnahme}&100&{}&{}&{}\\
\texttt{Zinsleistung }R_{t-1}\cdot{r}&{}&10&5.02&4.53\\
\texttt{Tilgungsleistung}&{}&49.85&4.83&45.32\\\hline
\texttt{Restschuld}&100&50.15&45.32&0
\end{array}[/mm]
Es fällt auf, daß hier nach folgendem Schema gerechnet wird:
[mm]100\cdot{0.1} = 10[/mm]
[mm]100 - (70 - (10 + 10.15)) = 50.15[/mm]
[mm]50.15\cdot{1.1} \approx 5.02[/mm]
[mm]50.15 - (20 - (5.02 + 10.15)) = 45.32 [/mm]
... = 0
Und ich wollte eigentlich nur wissen, warum diese Vorgehensweise sinnvoll ist, und was am Ende in der Tasche des Schuldners übrigbleibt? Man würde doch eigentlich erwarten, daß der Kredit mit der Annuität gedeckt werden sollte? Aber hier wird irgendwie jedes Jahr derjenige Teil des Überschusses aus dem Projekt zur Tilgung verwendet, der sozusagen "nicht Teil der Annuität" ist?
Vielleicht kann mir ja jemand den Sinn dahinter beleuchten?
Danke!
Grüße
Karl
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Hi Karl,
> Und ich wollte eigentlich nur wissen, warum diese
> Vorgehensweise sinnvoll ist, und was am Ende in der Tasche
> des Schuldners übrigbleibt? Man würde doch eigentlich
> erwarten, daß der Kredit mit der Annuität gedeckt werden
> sollte? Aber hier wird irgendwie jedes Jahr derjenige Teil
> des Überschusses aus dem Projekt zur Tilgung verwendet, der
> sozusagen "nicht Teil der Annuität" ist?
Ich habe noch aus dem BWL1-Schein folgende Zusammenhänge der Kapitalwertmethode im Kopf:
Die KWM geht davon aus, dass die Einzahlungen und Auszahlungen, die durch ein bestimmtes Investitionsobjekt hervorgerufen werden, im Zeitablauf nach Größe, zeitlichen Anfall und Dauer unterschieden seien können. Die einzelnen Beträge, die irgendwann während der Investitionsdauer anfallen, können nur vergleichbar gemacht werden, wenn das Zeitmoment in der Rechnung berücksichtigt wird, denn es ist offensichtlich, dass für den Betrieb eine Einzahlung umso weniger wert ist, je weiter sie in der Zukunft liegt und entsprechend eine Auszahlung umso belastender ist, je näher der Zahlungszeitpunkt liegt.
Die Vergleichbarkeit wird dadurch hergestellt, dass alle zukünftigen Einzahlungen und Auszahlungen auf den Zeitpunkt unmittelbar vor Beginn der Investition abgezinst werden. Eine auf einen Zeitpunkt abgezinste Zahlung bezeichnet man als Barwert. Der Kapitalwert einer Investition ergibt sich als Differenz zwischen der Summe der Barwerte aller Einzahlungen und der Summe der Barwerte aller Auszahlungen, die mit dieser Investition zusammenhängen.
Die Abzinsung erfolgt mit einem Zinssatz, der als gewünschte Mindestverzinsung den Kapitalkosten des Investors entsprechen soll...
Dadurch wird zugleich unterstellt, dass sich die Einzahlungen wiederum zur Mindestverzinsung verzinsen. Ist der Kapitalwert gleich null, so wird gerade noch diese Mindestverzinsung erzielt, d.h. die Einzahlungsüberschüsse reichen aus, die Anfangsauszahlungen zu tilgen und das investierte Kapital zur Mindestverzinsung zu verzinsen.
Ist der Kapitalwert positiv, so gibt er die Zahlungsüberschüsse des investitionsobjektes an, die neben den Anschaffungsauszahlungen zur Verfügung stehen und verzinst werden können. Ist der Kapitalwert negativ, so bezeichnet er den Teil der Anschaffungsauszahlungen, die aus den Einzahlungsüberschüssen weder getilgt noch verzinst werden können.
Ein positiver Kapitalwert zeigt zugleich, dass eine über der Mindestverzinsung liegende Verzinsung des eingesetzten Kapiatls erzielt wird, während ein negativer Kapitalwert ein Zeichen dafür ist, dass nur eine unter der Mindestverzinsung liegende Verzinsung erreichbar ist, also die Kapitalkosten des Investors nicht gedekct werden können...
Ich hoffe das dir der Sinn dieser dynamischen Investitionsmethode nun klarer ist?
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Hallo Analytiker,
Danke für die Hilfe!
Es scheint so zu sein, daß die Annuität eines Investitionsprojekts dafür sorgt, daß man zumindest die Schulden, die man zum Starten des Projekts genommen hat, abbezahlen kann. Allerdings scheint der Schuldner dann am Ende wieder genauso viel Geld zu haben, wie vor dem Projektstart, nämlich 0 Geldeinheiten? Seltsam... wozu sollte man sich dann die Mühe machen ein solches Projekt zu starten?
Grüße
Karl
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Hi Karl,
> wozu sollte man sich dann die Mühe machen ein solches Projekt zu starten?
Also eigentlich hat Josef schon alles relevante zur Beantwortung dieser Frage (in zahlen verpackt) erwähnt *smile*! Es muss immer der Fremdkapitalbezug im Auge behalten werden. In deiner Aufgabe kommt ja unterm Strich ein Gewinn heraus (für Fremdfinanzierung), somit dürfte sich deine Frage erledigt haben...
Liebe Grüße
Analytiker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Karl_Pech,
>
> Ich habe hier folgendes Investitionsprojekt
>
>
> [mm]\begin{array}{c|cccc}t&0&1&2&3\\\hline Z_t&-100&70&20&60\end{array}[/mm]
>
>
> Hierbei sind die [mm]Z_t[/mm] die Zahlungsüberschüsse innerhalb der
> Zeitpunkte 0 bis 3. Der Zinssatz sei hier [mm]r:=10\%[/mm].
>
> Jetzt bestimmen wir den Kapitelwert:
>
>
> [mm]\operatorname{KW}:=\sum_{i=0}^3{Z_{t_i}(1+r)^{-\left(t_i-t_0\right)}} = -100 + 70\cdot{1.1^{-1}} + 20\cdot{1.1^{-2}}+60\cdot{1.1^{-3}}\approx 25.24[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Daraus ermittelt man nun die Annuität:
>
>
> [mm]AN=\frac{\operatorname{KW}}{\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}}} \approx 10.15[/mm]
>
???
Was verstehst du hier unter Annuität?
Nach meiner Formel für Annuität erhalte ich:
A = [mm] 100*1,1^3 *\bruch{1,1 -1}{1,1^3 -1}
[/mm]
A = 40,27
Für den ersten Zinsbetrag ergibt sich:
100*0,1 = 10
Da die Tilgungsrate die Differenz zwischen Annuität und Zinsbetrag darstellt, berechnet man für sie im ersten Jahr:
40,21 - 10 = 30,21
Der Tilgunsplan lautet:
Schuld ..... Zinsen ..... Tilgung ..... Annuität
100,00 ........ 10.00 ......... 30,21 ...... 40,21
. 69,79 ......... 6,98 .......... 33,23 ...... 40,21
. 36,56 ......... 3,66 .......... 36,55 ...... 40,23
> Und jetzt steht im Skript, diese Investitionsmöglichkeit
> ermögliche im Fall einer reinen Kreditfinanzierung bei
> einem vollkommenen Kapitelmarkt ein Einkommen von 10,15
> Euro während der folgenden 3 Jahre bei gleichzeitiger
> Tilgung der Schuld:
>
>
> [mm]\begin{array}{l|rrrr}
\texttt{Zeitpunkt }t&t=0&t=1&t=2&t=3\\\hline
\texttt{Investition }Z_t&-100&70&20&60\\\hline
\texttt{Einkommen}&{}&10.15&10.15&10.15\\\hline
\texttt{Kreditaufnahme}&100&{}&{}&{}\\
\texttt{Zinsleistung }R_{t-1}\cdot{r}&{}&10&5.02&4.53\\
\texttt{Tilgungsleistung}&{}&49.85&4.83&45.32\\\hline
\texttt{Restschuld}&100&50.15&45.32&0
\end{array}[/mm]
>
>
> Es fällt auf, daß hier nach folgendem Schema gerechnet
> wird:
>
>
> [mm]100\cdot{0.1} = 10[/mm]
> [mm]100 - (70 - (10 + 10.15)) = 50.15[/mm]
>
> [mm]50.15\cdot{1.1} \approx 5.02[/mm]
> [mm]50.15 - (20 - (5.02 + 10.15)) = 45.32[/mm]
>
> ... = 0
>
>
> Und ich wollte eigentlich nur wissen, warum diese
> Vorgehensweise sinnvoll ist, und was am Ende in der Tasche
> des Schuldners übrigbleibt? Man würde doch eigentlich
> erwarten, daß der Kredit mit der Annuität gedeckt werden
> sollte? Aber hier wird irgendwie jedes Jahr derjenige Teil
> des Überschusses aus dem Projekt zur Tilgung verwendet, der
> sozusagen "nicht Teil der Annuität" ist?
>
>
> Vielleicht kann mir ja jemand den Sinn dahinter
> beleuchten?
>
>
>
> Und ich wollte eigentlich nur wissen, warum diese
> Vorgehensweise sinnvoll ist, und was am Ende in der Tasche
> des Schuldners übrigbleibt? Man würde doch eigentlich
> erwarten, daß der Kredit mit der Annuität gedeckt werden
> sollte? Aber hier wird irgendwie jedes Jahr derjenige Teil
> des Überschusses aus dem Projekt zur Tilgung verwendet, der
> sozusagen "nicht Teil der Annuität" ist?
>
>
> Vielleicht kann mir ja jemand den Sinn dahinter
> beleuchten?
>
>
Die Investition ist > 0, also positiv. Sie lohnt sich auf jeden Fall.
Die Investition soll aber mit Fremdmitteln finanziert werden. Lohnt sich die Investition dann immer noch?
Die gesamten Schuldzinsen für 100 Euro betragen:
3*40,21 - 100 = 20,63.
Der Barwert für die einzelnen Jahre beträgt:
[mm] \bruch{10}{1,1} [/mm] + [mm] \bruch{3,98}{1,1^2} [/mm] + [mm] \bruch{3,66}{1,1^3} [/mm] = 17,61
Für den Kredit zahlt der Unternehmer also nur 20,63 Euro Schuldzinsen; Barwert = 17,61.
Durch die Investition hat er aber einen Gewinn von 25,24 (Barwert)
Hierauf sind die Schuldzinsen von 17,61 Euro (Barwert) noch anzurechnen. Es verbleiben im dann immer noch 7,63 als Gewinn. Also ist die Investition durch Fremdfinanzierung günstig.
Sehe ich das so richtig?
Viele Grüße
Josef
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Hallo Josef,
Danke für die Hilfe!
> > Daraus ermittelt man nun die Annuität:
> >
> >
> >
> [mm]AN=\frac{\operatorname{KW}}{\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}}} \approx 10.15[/mm]
>
> >
>
> ???
>
>
> Was verstehst du hier unter Annuität?
>
>
> Nach meiner Formel für Annuität erhalte ich:
>
> A = [mm]100*1,1^3 *\bruch{1,1 -1}{1,1^3 -1}[/mm]
>
> A = 40,27
Soweit ich das sehe, stimmen unsere Formeln zumindest teilweise überein. Z.B. gilt für den Nenner in meiner Formel:
[mm]\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}} = \frac{1-\frac{1}{1.1^3}}{0.1} = \frac{\frac{1.1^3-1}{1.1^3}}{1.1-1} = \frac{1}{1.1^3}\cdot{\frac{1.1^3-1}{1.1-1}}[/mm]
Aber meine Formel steht jedenfalls so im Skript drin:
### ### ###
Der Rentenbarwertfaktor gibt den proportionalen Zusammenhang zwischen dem Kapitalwert und einer festen periodischen Zahlung an. Entsprechend der obigen Gleichung ist der Rentenbarwertfaktor ([mm]\operatorname{RBF}[/mm]) bestimmt durch:
[mm]\operatorname{RBF} := \frac{q^n -1}{q^n\cdot{r}}[/mm] mit [mm]q:=1+r\![/mm].
Der Annuitätenfaktor gibt den umgekehrten Zusammenhang an, das heißt dieser ist gleich dem Proportionalitätsfaktor zwischen der festen periodischen Zahlung (Annuität) einer gegebenen Dauer und dem Kapitalwert. Der Annuitätenfaktor ([mm]\operatorname{AF}[/mm]) berechnet sich zu:
[mm]\operatorname{AN}=\operatorname{KW}\cdot{}\frac{q^nr}{q^n-1}\Rightarrow\operatorname{AF}:=\frac{q^nr}{q^n-1}[/mm] mit [mm]q:=1+r\![/mm].
Der Annuitätenfaktor wird auch als Wiedergewinnungsfaktor bezeichnet und ist gleich dem Kehrwert des Rentenbarwertfaktors, [mm]\operatorname{AF} = \operatorname{RBF}^{-1}[/mm].
### ### ###
Hmm, ich schau mal, ob ich's besser verstehe, wenn ich 10.15 als Annuität in deine weiteren Rechnungen einsetze.
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 So 05.08.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Karl_Pech,
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> > > Daraus ermittelt man nun die Annuität:
> > >
> > >
> > >
> >
> [mm]AN=\frac{\operatorname{KW}}{\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}}} \approx 10.15[/mm]
>
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> > >
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> > ???
> >
> >
> > Was verstehst du hier unter Annuität?
> >
> >
> > Nach meiner Formel für Annuität erhalte ich:
> >
> > A = [mm]100*1,1^3 *\bruch{1,1 -1}{1,1^3 -1}[/mm]
> >
> > A = 40,27
>
>
> Soweit ich das sehe, stimmen unsere Formeln zumindest
> teilweise überein. Z.B. gilt für den Nenner in meiner
> Formel:
>
>
> [mm]\frac{1.1^3-1}{1.1^3\cdot{0.1}} = \frac{1-\frac{1}{1.1^3}}{0.1} = \frac{\frac{1.1^3-1}{1.1^3}}{1.1-1} = \frac{1}{1.1^3}\cdot{\frac{1.1^3-1}{1.1-1}}[/mm]
>
>
> Aber meine Formel steht jedenfalls so im Skript drin:
>
>
Hier handelt es sich um die Ermittlung der gleichbleibenden Raten des Barwertes der einzelnen Jahre. Die Formel ist somit richtig.
[mm] \bruch{10,15}{1,1} [/mm] + [mm] \bruch{10,15}{1,1^2} [/mm] + [mm] \bruch{10,15}{1,1^3} [/mm] = 25,25
Dein Tilgungsplan geht auf (Endkontostand = Null), d.h. die Rückflüsse reichen gerade aus, um sowohl die Investition als auch den Kapitalwert (25,25) zu verzinsen und zu tilgen. Alle Rückflüsse aus der Investition werden unmittelbar in voller Höhe zur Verzinsung und Tilgung der Investitionsauszahlung (Kreditsumme) verwendet.
Viele Grüße
Josef
> ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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> Hmm, ich schau mal, ob ich's besser verstehe, wenn ich
> 10.15 als Annuität in deine weiteren Rechnungen einsetze.
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> Viele Grüße
> Karl
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