Anharmonischer Potenzialtopf < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:54 Do 24.12.2009 | | Autor: | cascada |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Frequenz [mm] \omega_{0} [/mm] in der harmonischen Näherung (kleine Auslenkungen) für das oben angegebene Potential [mm] W(r)=-\bruch{b}{r^{3}}+\bruch{a}{r^{5}}.
[/mm]
Lösung: [mm] \omega_{0}^{2}=\bruch{6b}{m}-(\bruch{3b}{5a})^{5/2} [/mm] |
Anmerkungen meinerseits: W(r) ist die potentielle Energie für ein zweiatomiges Molekül im anharmonischen Potenzialtopf.
Als Formel ist eine Seite weiter vorne angegeben:
[mm] \omega_{0}^{2}=\bruch{1}{m}\bruch{\partial^{2}W_{pot}}{\partial r^{2}}
[/mm]
Mein Lösungsweg:
Erst einmal habe ich die potentielle Energie zwei mal nach r differenziert:
[mm] \bruch{\partial W(r)}{\partial r}=\bruch{3b}{r^{4}}-\bruch{5a}{r^{6}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial^{2} W(r)}{\partial r^{2}}=-\bruch{12b}{r^{5}}+\bruch{30a}{r^{7}}
[/mm]
Leider komm ich dann nicht mehr weiter. Wenn ich das ganze jetzt durch m teile, kommt nie und nimmer die Lösung raus. Scheinbar muss ich das "r" eliminieren. Wüsste jetzt aber nicht wie. Wenn ich [mm] \bruch{1}{r^{7}} [/mm] ausklammer, dann hab ich ja immer noch den Faktor [mm] r^{2} [/mm] am ersten Term.
Kann mir evtl jemand da weiterhelfen?
MfG
cascada
Ps: Ich hab diese Frage nirgendwo anders gestellt, nur hier.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Do 24.12.2009 | | Autor: | Doing |
Hallo.
Ich versteh nicht ganz was du vorhast. Du musst das Potential zunächst einmal näherungsweise als harmonisches Potential darstellen (d.h. bis zum quadratischen Term nähern). Und zwar sollst du die Näherung in der "Nähe" der Ruhelage vornehmen (Was gilt im Ruhepunkt für das Potential?).
Die Frequenz erhälst du dann, indem du für das approximierte harmonische Potential die charakteristische Gleichung der Bewegungsgleichung löst.
Frohe Weihnachten,
Doing
edit: Hab die Formel für die Frequenz die du gegeben hast nicht gesehen. Vergiss also den letzten Teil meines Posts.
Die Näherung musst du aber nachwievor durchführen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:05 Sa 26.12.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
vlt. noch als kleine Ergaenzung zum vorhergehenden Post:
Wenn du das Potential in eine Taylorreihe entwickelst, dann kommen da ja genau die Ableitungen rein (wovon eine nach Definition der Ruhelage Null ist...) Dann ist es in der Taylorreihe aber so, dass man bei den Ableitungen, die man ausrechnet, immer fuer das $r$ den Wert deiner Ruhelage [mm] $r_0$ [/mm] einsetzt. D.h. wenn ich nun zB die Funktion [mm] $f(x)=\sin [/mm] x$ habe, und die in eine Taylorreihe in erster Ordnung um den Punkt x=0 entwickele, dann steht da ja:
[mm] $f(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot [/mm] x$, d.h. die erste Ableitung muss an der Stelle $x=0$ ausgerechnet werden. D.h. die Taylorreihe schaut dann aus wie [mm] $f(x)\approx \sin(0)+\cos(0)\cdot [/mm] x$ und nicht, wie du es oben machen wolltest [mm] $\sin(0)+\cos(x)\cdot [/mm] x$...
Ich hoffe, das Beispiel erklaert dir, wie du das $r$ "eliminieren" musst, naemlich indem du die Ableitungen ausrechnest und deren Wert an der Stelle [mm] $r_0$, [/mm] um die du entwickelst. Die Stelle [mm] $r_0$ [/mm] ist dann die Ruhelage, die du ebenfalls ausrechnen kannst (Ruhelage = keine Kraft wirkt aufs Teilchen, Kraft hat welchen Zusammenhang mit dem Potential? D.h. welche Ableitung faellt in der Taylorreihe weg?)
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:57 So 27.12.2009 | | Autor: | cascada |
Hi! Sorry, für die späte Reaktion meinerseits.
Mein neuer Ansatz:
[mm] W(r)\approx W(r_{0})+ [\bruch{\partial W(r)}{\partial r}(r_{0})](r-r_{0})+\bruch{1}{2!}[\bruch{\partial ^{2} W(r)}{\partial r^{2}}(r_{0})](r-r_{0})^2
[/mm]
Da die Ruhelage ein Minimum der Funktion ist, ist die erste Ableitung hier null und der zweite Term fällt schon mal raus. ![[]](/images/popup.gif) Diagramm des Potentials
[mm] \Rightarrow W(r)=\bruch{-b}{r_{0}^{3}}+\bruch{a}{r_{0}^{5}}+ \bruch{1}{2!}(\bruch{-12b}{r_{0}^{5}}+\bruch{3a}{r_{0}^{7}})(r-r_{0})^{2}
[/mm]
Und wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, muss ich diesen Term jetzt zwei Mal differenzieren, oder?
[mm] \Rightarrow \bruch{\partial W(r)}{\partial r}=-\bruch{12b}{r_{0}^{5}}+\bruch{3a}{r_{0}^{7}}
[/mm]
Jedoch ist das ja eigentlich nichts anderes als vorher und somit noch immer nicht die Lösung, wenn ich es in die Formel von [mm] \omega_{0} [/mm] einsetze.
Irgendwie steh ich noch auf dem Schlauch und hab wo einen Denkfehler drin. Schon mal Danke im Vorraus, wenn nochmal jemand drüber schauen könnte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 27.12.2009 | | Autor: | Kroni |
Hey,
> Hi! Sorry, für die späte Reaktion meinerseits.
hm, das ist doch kein Problem, dafuer musst du dich nicht entschuldigen 
> Mein neuer Ansatz:
>
> [mm]W(r)\approx W(r_{0})+ [\bruch{\partial W(r)}{\partial r}(r_{0})](r-r_{0})+\bruch{1}{2!}[\bruch{\partial ^{2} W(r)}{\partial r^{2}}(r_{0})](r-r_{0})^2[/mm]
Ja, das ist soweit richtig.
>
> Da die Ruhelage ein Minimum der Funktion ist, ist die erste
> Ableitung hier null und der zweite Term fällt schon mal
> raus.
Das stimmt. Aus der Bedingung bekommst du aber auch das [mm] $r_0$ [/mm] heraus, indem du [mm] $\frac{\partial W}{\partial r}(r_0)\overset{!}{=}0$ [/mm] setzt. Dann kannst du [mm] $r_0$ [/mm] durch a und b ausdruecken und kannst somit das [mm] $r_0$ [/mm] eliminieren.
> Diagramm des Potentials
>
> [mm]\Rightarrow W(r)=\bruch{-b}{r_{0}^{3}}+\bruch{a}{r_{0}^{5}}+ \bruch{1}{2!}(\bruch{-12b}{r_{0}^{5}}+\bruch{3a}{r_{0}^{7}})(r-r_{0})^{2}[/mm]
Bei der zweiten Ableitung muesste es eine 30 sein..sonst passt.
>
> Und wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, muss ich
> diesen Term jetzt zwei Mal differenzieren, oder?
Ne. Wenn du jetzt das Potential gegeben hast, dann hast du das ja zu einem quadr. Potential entwickelt, also schauts nun um die Ruhelage aus wie ein harmonischer Oszillatorpotential [mm] $V(x)=\frac{1}{2}kx^2$ [/mm] Der Konstante Term ist ja nur eine Energieverschiebung, der fuer die Kraft, die wirkt keine Auswirkung hat.
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{\partial W(r)}{\partial r}=-\bruch{12b}{r_{0}^{5}}+\bruch{3a}{r_{0}^{7}}[/mm]
>
> Jedoch ist das ja eigentlich nichts anderes als vorher und
> somit noch immer nicht die Lösung, wenn ich es in die
> Formel von [mm]\omega_{0}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
einsetze.
> Irgendwie steh ich noch auf dem Schlauch und hab wo einen
> Denkfehler drin. Schon mal Danke im Vorraus, wenn nochmal
> jemand drüber schauen könnte.
Versuchen wir uns das nochmal in Ruhe zu ueberlegen. Du hast irgendein Potential $V(r)$ gegeben, das ein Minumum hat. Dann entwickeln wir das Potential um die Ruhelage bis zur zweiten Ordnung (erste Ordnung waere ja konstant, weil wir ja ums Minimum entwickeln und da nach Def. die erste Ableitung 0 ist).
Dann entspricht das einem Potential von $V(r)=V_0+\frac{1}{2}kr^2$, was einem harm. Oszillator entspricht. In unserem Fall ist dann $k=\left. \frac{\partial^2 V(r)}{\partial r^2} \right|_{r_0}$ Wobei diese Schreibweise meint, dass man die zweite Ableitung des Potentials ausrechnet und das dann an der Stelle $r_0$ auswertet, also genau so, wie wir es weiter oben schon besprochen haben.
Dann schaut deine DGL, wenn man das Potential als Kraft aufschreibt wieder aus wie $m\ddot{r}+kx=0$, wobei das $k$ wieder das $k$ von oben ist. Dann weist du, dass die Schwingungsfrequenz $\omega_0^2=\frac{k}{m}$ ist. Wenn du das $k$ von oben einsetzt, bist du bei deiner Formel, die du geschrieben hast, mit dem Unterschied, dass jetzt expilizit dransteht, dass man die zweite Ableitung des Potentials auszurechnen hat, und dann den Wert fuer $r_0$ einsetzten muss. Denn bei dir stuende dort momentan noch ein $r_0$ drin. Das kann man dann ueber die Forderung, dass an $r_0$ die erste Ableitung von W verschwinden muss, durch a und b ausdruekcen, das dann in die zweite Ableitung von W einsetzen und dann solltest du die Loesung bekommen.
Ich hoffe, dass der viele Text dich nicht verwirrt, dir aber evtl. nochmal zeigt, wo die Formel herkommt, und du jetzt weist, was du rechnen musst. Du bist schon auf dem richtigen Weg!
Viel Erfolg, und wenn noch weitere Fragen da sind, einfach nochmal fragen
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 27.12.2009 | | Autor: | cascada |
Danke für die schnelle Antwort!
Berechnung von [mm] r_{0}:
[/mm]
[mm] \bruch{\partial W(r)}{\partial r}(r_{0})=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{3b}{r_{0}^{4}}-\bruch{5a}{r_{0}^{6}}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow r_{0}^{2}=\bruch{5a}{3b} \rightarrow r_{0}=\left( \bruch{5a}{3b} \right)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Dieses Ergebnis kann ich jetzt in meine zweite Ableitung (diesmal bei [mm] r_{0} [/mm] ausgewertet ;) ) einsetzen:
[mm] \bruch{\partial^{2}W(r)}{\partial r^{2}}(r_{0})= -\bruch{12b}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{5}{2}}}+\bruch{30a}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{7}{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{5}{2}}}\left( -12b+\bruch{30a}{\bruch{5a}{3b}}\right)=\left( \bruch{5a}{3b} \right)^{\bruch{5}{2}}6b
[/mm]
Daraus folgt dann mit der Formel in meinem ersten Post:
[mm] \omega_{0}^{2}=\bruch{6b}{m}\left( \bruch{3b}{5a} \right)^\bruch{5}{2}
[/mm]
Lösung nochmal:
[mm] \omega_{0}^{2}=\bruch{6b}{m} [/mm] - [mm] \left( \bruch{3b}{5a} \right)^\bruch{5}{2}
[/mm]
Kann ich auf einen Fehler in der Lösung schließen, oder bin ich schon wieder falsch?
Danke Kroni, wegen der genauen Erklärung nochmal, das hat es mich besser verstehen lassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 27.12.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Berechnung von [mm]r_{0}:[/mm]
> [mm]\bruch{\partial W(r)}{\partial r}(r_{0})=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{3b}{r_{0}^{4}}-\bruch{5a}{r_{0}^{6}}=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow r_{0}^{2}=\bruch{5a}{3b} \rightarrow r_{0}=\left( \bruch{5a}{3b} \right)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
Jip. Eigentlich [mm] $\pm$, [/mm] aber da [mm] $r\ge [/mm] 0$ ists okay.
>
> Dieses Ergebnis kann ich jetzt in meine zweite Ableitung
> (diesmal bei [mm]r_{0}[/mm] ausgewertet ;) ) einsetzen:
>
> [mm]\bruch{\partial^{2}W(r)}{\partial r^{2}}(r_{0})= -\bruch{12b}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{5}{2}}}+\bruch{30a}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{1}{\left(\bruch{5a}{3b}\right)^{\bruch{5}{2}}}\left( -12b+\bruch{30a}{\bruch{5a}{3b}}\right)=\left( \bruch{5a}{3b} \right)^{\bruch{5}{2}}6b[/mm]
>
> Daraus folgt dann mit der Formel in meinem ersten Post:
>
> [mm]\omega_{0}^{2}=\bruch{6b}{m}\left( \bruch{3b}{5a} \right)^\bruch{5}{2}[/mm]
>
> Lösung nochmal:
>
> [mm]\omega_{0}^{2}=\bruch{6b}{m}[/mm] - [mm]\left( \bruch{3b}{5a} \right)^\bruch{5}{2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Kann ich auf einen Fehler in der Lösung schließen, oder
> bin ich schon wieder falsch?
Du kannst auf einen Fehler in der Loesung schliessen. Ich komme auch auf $r_0^2=\frac{5a}{3b}$ und damit dann auf $\left. \frac{\partial^2 W(r)}{\partial r^2}\right|_{r_0}=6b\left(\frac{3b}{5a}\right)^\frac{1}{2}$.
>
> Danke Kroni, wegen der genauen Erklärung nochmal, das hat
> es mich besser verstehen lassen.
Das freut mich, dass die Erklaerung geholfen hat
LG
Kroni
|
|
|
|
![[]](http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC1/Kap_I/Aender_pot_Energie.gif){kind=small}
Diagramm des Potentials