Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Mi 18.07.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
[mm] y'= 2\wurzel{|y-1|} [/mm]
jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle solche Lösungen an:
a) y(0) = 0 und y(1) = 2
b) y(0) = 0 und y(2) = 2
c) y(0) = 0 und y(3) = 2 |
Hallo,
also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den anderen Werten jeweils passt.
Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der Variablen habe ich folgendes gemacht:
[mm] y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2 [/mm]
Für [mm]y-1 \geq 0 [/mm] erhalte ich [mm] c^2 [/mm] = -1, und das stimmt ja nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
Vielen Dank!
Grüße Teo
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Hallo teo,
> Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
>
> [mm]y'= 2\wurzel{|y-1|}[/mm]
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> jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> solche Lösungen an:
>
> a) y(0) = 0 und y(1) = 2
> b) y(0) = 0 und y(2) = 2
> c) y(0) = 0 und y(3) = 2
>
> Hallo,
>
> also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das
> AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den
> anderen Werten jeweils passt.
>
> Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der
> Variablen habe ich folgendes gemacht:
>
> [mm]y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2[/mm]
>
> Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] erhalte ich [mm]c^2[/mm] = -1, und das stimmt ja
> nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
>
Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] trifft die Anfangsbedingung nicht zu.
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße Teo
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mi 18.07.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
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> > Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
> >
> > [mm]y'= 2\wurzel{|y-1|}[/mm]
> >
> > jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> > Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> > solche Lösungen an:
> >
> > a) y(0) = 0 und y(1) = 2
> > b) y(0) = 0 und y(2) = 2
> > c) y(0) = 0 und y(3) = 2
> >
> > Hallo,
> >
> > also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das
> > AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den
> > anderen Werten jeweils passt.
> >
> > Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der
> > Variablen habe ich folgendes gemacht:
> >
> > [mm]y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2[/mm]
>
> >
> > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] erhalte ich [mm]c^2[/mm] = -1, und das stimmt ja
> > nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
> >
>
>
> Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] trifft die Anfangsbedingung nicht zu.
>
Ok, also bedeutet das, dass y-1 < 0 ist also gilt: |y-1|=1-y.
Dann folgt aber für alle Teilaufgaben, dass es keine Lösung gibt und das irritiert mich:
Aus |y-1| = 1-y folgt wegen y(0)=0:
[mm] y = 1 - (t+c)^2 \Rightarrow y(0)= 1 - (0 + c)^2 \gdw c \in {-1,1}[/mm]
Also gibt es jeweils zwei Möglichkeiten zum untersuchen:
[mm] y_1(t)=1-(t+1)^2 [/mm] und [mm] y_2(t)=1-(t+1)^2
[/mm]
a) [mm] y_1(1) [/mm] = 1 - [mm] (1+1)^2 [/mm] = -3 [mm] \neq [/mm] 2 und [mm] y_2(1)= 1-(1-1)^2=1 \neq [/mm] 2
b) [mm] y_1(2) [/mm] = 1- [mm] (1+2)^2 \neq [/mm] 2 und [mm] y_2(2) [/mm] = [mm] 1-(1-2)^2 \neq [/mm] 2
c) [mm] y_1(3) [/mm] = 1 - [mm] (1+3)^2 \neq [/mm] 2 und [mm] y_2(3)=1-(1-3)^2 \neq [/mm] 2
Also gibt es keine Lösung.
Stimmt das Vorgehen so? Ich zweifel da gerade noch.
Vielen Dank
Viele Grüße Teo
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Hallo teo,
> > Hallo teo,
> >
> > > Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
> > >
> > > [mm]y'= 2\wurzel{|y-1|}[/mm]
> > >
> > > jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> > > Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> > > solche Lösungen an:
> > >
> > > a) y(0) = 0 und y(1) = 2
> > > b) y(0) = 0 und y(2) = 2
> > > c) y(0) = 0 und y(3) = 2
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das
> > > AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den
> > > anderen Werten jeweils passt.
> > >
> > > Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der
> > > Variablen habe ich folgendes gemacht:
> > >
> > > [mm]y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2[/mm]
>
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> > >
> > > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] erhalte ich [mm]c^2[/mm] = -1, und das stimmt ja
> > > nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
> > >
> >
> >
> > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] trifft die Anfangsbedingung nicht zu.
> >
> Ok, also bedeutet das, dass y-1 < 0 ist also gilt:
> |y-1|=1-y.
>
> Dann folgt aber für alle Teilaufgaben, dass es keine
> Lösung gibt und das irritiert mich:
>
> Aus |y-1| = 1-y folgt wegen y(0)=0:
>
> [mm]y = 1 - (t+c)^2 \Rightarrow y(0)= 1 - (0 + c)^2 \gdw c \in {-1,1}[/mm]
>
> Also gibt es jeweils zwei Möglichkeiten zum untersuchen:
> [mm]y_1(t)=1-(t+1)^2[/mm] und [mm]y_2(t)=1-(t+1)^2[/mm]
>
> a) [mm]y_1(1)[/mm] = 1 - [mm](1+1)^2[/mm] = -3 [mm]\neq[/mm] 2 und [mm]y_2(1)= 1-(1-1)^2=1 \neq[/mm]
> 2
>
> b) [mm]y_1(2)[/mm] = 1- [mm](1+2)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(2)[/mm] = [mm]1-(1-2)^2 \neq[/mm]
> 2
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> c) [mm]y_1(3)[/mm] = 1 - [mm](1+3)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(3)=1-(1-3)^2 \neq[/mm] 2
>
> Also gibt es keine Lösung.
>
> Stimmt das Vorgehen so? Ich zweifel da gerade noch.
>
Zunächst sind die Lösungen der DGL für die Fälle
i) y < 1
ii) y=1
iii)y > 1
zu ermitteln.
Hast Du die Lösung beispielweise für y < 1,
so kannst Du auch nur die Anfangsbedingung y(0)=0 verwenden,
um die Integrationskonstante zu bestimmen.
Für y > 1 mußt Du auch die Lösung für y > 1 heranziehen.
> Vielen Dank
>
> Viele Grüße Teo
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Mi 18.07.2012 | | Autor: | teo |
> Hallo teo,
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> > > Hallo teo,
> > >
> > > > Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
> > > >
> > > > [mm]y'= 2\wurzel{|y-1|}[/mm]
> > > >
> > > > jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> > > > Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> > > > solche Lösungen an:
> > > >
> > > > a) y(0) = 0 und y(1) = 2
> > > > b) y(0) = 0 und y(2) = 2
> > > > c) y(0) = 0 und y(3) = 2
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das
> > > > AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den
> > > > anderen Werten jeweils passt.
> > > >
> > > > Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der
> > > > Variablen habe ich folgendes gemacht:
> > > >
> > > > [mm]y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] erhalte ich [mm]c^2[/mm] = -1, und das stimmt ja
> > > > nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
> > > >
> > >
> > >
> > > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] trifft die Anfangsbedingung nicht zu.
> > >
> > Ok, also bedeutet das, dass y-1 < 0 ist also gilt:
> > |y-1|=1-y.
> >
> > Dann folgt aber für alle Teilaufgaben, dass es keine
> > Lösung gibt und das irritiert mich:
> >
> > Aus |y-1| = 1-y folgt wegen y(0)=0:
> >
> > [mm]y = 1 - (t+c)^2 \Rightarrow y(0)= 1 - (0 + c)^2 \gdw c \in {-1,1}[/mm]
>
> >
> > Also gibt es jeweils zwei Möglichkeiten zum untersuchen:
> > [mm]y_1(t)=1-(t+1)^2[/mm] und [mm]y_2(t)=1-(t+1)^2[/mm]
> >
> > a) [mm]y_1(1)[/mm] = 1 - [mm](1+1)^2[/mm] = -3 [mm]\neq[/mm] 2 und [mm]y_2(1)= 1-(1-1)^2=1 \neq[/mm]
> > 2
> >
> > b) [mm]y_1(2)[/mm] = 1- [mm](1+2)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(2)[/mm] = [mm]1-(1-2)^2 \neq[/mm]
> > 2
> >
> > c) [mm]y_1(3)[/mm] = 1 - [mm](1+3)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(3)=1-(1-3)^2 \neq[/mm] 2
> >
> > Also gibt es keine Lösung.
> >
> > Stimmt das Vorgehen so? Ich zweifel da gerade noch.
> >
>
>
> Zunächst sind die Lösungen der DGL für die Fälle
>
> i) y < 1
> ii) y=1
> iii)y > 1
>
> zu ermitteln.
>
> Hast Du die Lösung beispielweise für y < 1,
> so kannst Du auch nur die Anfangsbedingung y(0)=0
> verwenden,
> um die Integrationskonstante zu bestimmen.
>
> Für y > 1 mußt Du auch die Lösung für y > 1
> heranziehen.
>
>
> > Vielen Dank
> >
> > Viele Grüße Teo
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
Hallo, danke für die Antwort. Ich verstehe die Aufgabe so, dass die gesuchten Lösungen jeweils beide Bedingungen erfüllen sollen. Wähle ich jetzt y>1, dann erhalte ich nie eine Lösung für die y(0)=0 erfüllt ist oder?
Irgendwie hänge ich noch.
Vielen Dank!
Grüße Teo
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Hallo teo,
> > Hallo teo,
> >
> > > > Hallo teo,
> > > >
> > > > > Untersuchen Sie für die Differentialgleichung
> > > > >
> > > > > [mm]y'= 2\wurzel{|y-1|}[/mm]
> > > > >
> > > > > jeweils, ob es Lösungen mit den wie folgt vorgegebenen
> > > > > Werten gibt, und geben Sie im Falle der Existenz alle
> > > > > solche Lösungen an:
> > > > >
> > > > > a) y(0) = 0 und y(1) = 2
> > > > > b) y(0) = 0 und y(2) = 2
> > > > > c) y(0) = 0 und y(3) = 2
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> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > also ich wollte erst einmal die Allgemeine Lösung für das
> > > > > AWP y(0) = 0 lösen und dann schauen, ob das mit den
> > > > > anderen Werten jeweils passt.
> > > > >
> > > > > Nur hab ich dabei schon Probleme: Mit Trennung der
> > > > > Variablen habe ich folgendes gemacht:
> > > > >
> > > > > [mm]y' = 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{dt}= 2\wurzel{|y-1|} \Rightarrow \frac{dy}{2\wurzel{|y-1|}} = dt \Rightarrow \frac{1}{2}\integral{\frac{1}{\wurzel{|y-1|}}dy = \integral dt \Rightarrow |y-1|^{\frac{1}{2}} = t + c \Rightarrow |y-1|= (t+c)^2[/mm]
>
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> > > > > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] erhalte ich [mm]c^2[/mm] = -1, und das stimmt ja
> > > > > nicht, wo habe ich denn hier den Denkfehler drin?
> > > > >
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> > > > Für [mm]y-1 \geq 0[/mm] trifft die Anfangsbedingung nicht zu.
> > > >
> > > Ok, also bedeutet das, dass y-1 < 0 ist also gilt:
> > > |y-1|=1-y.
> > >
> > > Dann folgt aber für alle Teilaufgaben, dass es keine
> > > Lösung gibt und das irritiert mich:
> > >
> > > Aus |y-1| = 1-y folgt wegen y(0)=0:
> > >
> > > [mm]y = 1 - (t+c)^2 \Rightarrow y(0)= 1 - (0 + c)^2 \gdw c \in {-1,1}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also gibt es jeweils zwei Möglichkeiten zum untersuchen:
> > > [mm]y_1(t)=1-(t+1)^2[/mm] und [mm]y_2(t)=1-(t+1)^2[/mm]
> > >
> > > a) [mm]y_1(1)[/mm] = 1 - [mm](1+1)^2[/mm] = -3 [mm]\neq[/mm] 2 und [mm]y_2(1)= 1-(1-1)^2=1 \neq[/mm]
> > > 2
> > >
> > > b) [mm]y_1(2)[/mm] = 1- [mm](1+2)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(2)[/mm] = [mm]1-(1-2)^2 \neq[/mm]
> > > 2
> > >
> > > c) [mm]y_1(3)[/mm] = 1 - [mm](1+3)^2 \neq[/mm] 2 und [mm]y_2(3)=1-(1-3)^2 \neq[/mm] 2
> > >
> > > Also gibt es keine Lösung.
> > >
> > > Stimmt das Vorgehen so? Ich zweifel da gerade noch.
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> >
> > Zunächst sind die Lösungen der DGL für die Fälle
> >
> > i) y < 1
> > ii) y=1
> > iii)y > 1
> >
> > zu ermitteln.
> >
> > Hast Du die Lösung beispielweise für y < 1,
> > so kannst Du auch nur die Anfangsbedingung y(0)=0
> > verwenden,
> > um die Integrationskonstante zu bestimmen.
> >
> > Für y > 1 mußt Du auch die Lösung für y > 1
> > heranziehen.
> >
> >
> > > Vielen Dank
> > >
> > > Viele Grüße Teo
> > >
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Hallo, danke für die Antwort. Ich verstehe die Aufgabe so,
> dass die gesuchten Lösungen jeweils beide Bedingungen
> erfüllen sollen. Wähle ich jetzt y>1, dann erhalte ich
> nie eine Lösung für die y(0)=0 erfüllt ist oder?
>
Die Anfangsbedingung y(0)=0 suggeriert doch schon,
daß die Lösung für y<1 verwendet werden muss.
Während für die zweite Anfangsbedingung die Lösung
für y>1 herangezogen werden muss.
> Irgendwie hänge ich noch.
>
> Vielen Dank!
>
> Grüße Teo
Gruss
MathePower
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