Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Zeigen sie jeweils,dass das angegebene y als Funktion von x die allgemeine Lösung der angegebenen Differentialgleichung ist.
[mm] y=Ce^{-4x} [/mm] , y'+4y=0 |
hallo
Hab das jetz einfach mal mit Trennung der vriablen versucht, da wir eh noch nichts anders hatten^^
ich hab ja:
[mm] \bruch{dy}{dx}+4y=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{dx}=-4y*\bruch{1}{dy}
[/mm]
[mm] dx=-\bruch{1}{4y}dy
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{dx}=\integral_{}^{}{-\bruch{1}{4y} dy}
[/mm]
Jetz weiß ich nich so ganz wie ich mit dem Ausdruck [mm] \integral_{}^{}{dx} [/mm] umgehen soll:
???=-ln(4y)
Und wie ich dann auf die geforderte form komme;)
Gruß
|
|
| |
|
Ist mein x+c das gleiche wie x*ln(c)?? weil ich kann ja jede natürliche Zahl als logarithmus darstellen??
dann hätte ich ja -4x*ln(c)=ln(y)
Also:
[mm] Ce^{-4x}=y???
[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ist mein x+c das gleiche wie x*ln(c)??
Nein, wieso sollte das so sein?
> weil ich kann ja
> jede natürliche Zahl als logarithmus darstellen??
>
> dann hätte ich ja -4x*ln(c)=ln(y)
Wir haben doch [mm]-\frac{1}{4}\ln(|y|)=x+\tilde c[/mm]
Mal [mm](-4)[/mm] auf beiden Seiten:
[mm]\ln(|y|)=-4x-4\tilde c[/mm]
"Exponieren"
[mm]e^{\ln(|y|)}=e^{-4x-4\tilde c}[/mm]
[mm]\gdw |y|=e^{-4x}\cdot{}e^{-4\tilde c}[/mm] Potenzgesetze
Nun ist [mm]e^{-4\tilde c}[/mm] eine Konstante, die wir auch [mm]c_2[/mm] nennen können:
Also [mm]|y|=c_2\cdot{}e^{-4x}[/mm] mit [mm]c_2\in\IR^+_0[/mm] !!
Es ist ja [mm]|y|\ge 0[/mm]
Betrag auflösen:
[mm]y=C\cdot{}e^{-4x}[/mm] mit [mm]C\in\IR[/mm] !!
> Also:
>
> [mm]Ce^{-4x}=y???[/mm]
>
> gruß
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
