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| Aufgabe | Es geht um die Lösung des AWP's:
x'(t)=Ax(t), x(0)=xo
mit
[mm] A=\begin{pmatrix} 4 & 1&0&0 \\-3 &1&1&1\\0&0&4&1\\1&0&-3&0\end{pmatrix}x(t) [/mm] , [mm] x(0)=\begin{pmatrix}
2 \\-4\\0\\0\end{pmatrix}
[/mm]
a) geben sie die algebraischen und geometrischen vielfachheiten der beiden Eigenwerte von A an (charakteristisches Polynom:p(λ)=(λ-2)²(λ-3)) Berechnen Sie die Eigenvektoren und gegebenenfalls Hauptvektoren von A.
b) Lösen sie das AWP. |
Hallo!
Habe nun den Teil a) der Aufgabe gelöst:
λ(1)=2 , n(1)=3
λ(2)=3, n(2)=1
da der Rang(A-λ(1)*I)=3 --> g(1)=1
der Eigenvektor zu λ(1) hat die Form:
[mm] v(1)=s*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
Rang(A-λ(2)*I)=3 --> g(2)=1
der Eigenvektor zu λ(2) hat die Form:
[mm] v(2)=t*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
Hauptvektor zum Eigenwert λ(2) existiert nicht da n(2)=1.
Zu den Hauptvektoren von λ(1):(A-λ(1)*I)h(1)=v
[mm] \begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&-1&;s\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] ->h(1)=s*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
(A-λ(1)*I)*h(2)=h(1):
[mm] \begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;(s/4)-r \\-3 &-1&1&1&;s+r\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\1&0&-3&-2&;r\end{pmatrix}--->
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0&1&0&;-s/2 \\0 &1&0&1&;s-(3r/2)\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\0&0&0&0&;(5s/4)-(3r/2)\end{pmatrix}
[/mm]
also muss gelten: (5s/4)-(3r/2)=0
für s=4/5 , r=3/2 --> [mm] h(1)=\begin{pmatrix} -7 \\ 22 \\ -8\\10 \end{pmatrix}, v(1)=\begin{pmatrix} 15 \\ -30 \\ -15\\30 \end{pmatrix} [/mm] (h(1),v(1) wurden mit 15 multipliziert)
[mm] h(2)=\begin{pmatrix} 4/30 \\ -1/5 \\ -7/30\\0 \end{pmatrix}+a*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
für [mm] a*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix} [/mm] setze ich nun [mm] \begin{pmatrix} 15 \\ -30 \\ -15\\30 \end{pmatrix} [/mm] ein (Vektor v(1))
[mm] -->h(2)=\begin{pmatrix} 19/30 \\ -151/30 \\ -457/30\\30 \end{pmatrix}
[/mm]
Wie löse ich nun den Punkt b) meiner Aufgabe ?
Würde es Reichen die Fundamentalmatrix der Form:
X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t)) an zu geben?
LG Scherzkrapferl
ps: kann sein dass ich mich bei den Hauptvektoren vertan habe :-S
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Hallo scherzkrapferl,
> Es geht um die Lösung des AWP's:
> x'(t)=Ax(t), x(0)=xo
> mit
>
> [mm]A=\begin{pmatrix} 4 & 1&0&0 \\-3 &1&1&1\\0&0&4&1\\1&0&-3&0\end{pmatrix}x(t)[/mm]
> , [mm]x(0)=\begin{pmatrix}
2 \\-4\\0\\0\end{pmatrix}[/mm]
>
> a) geben sie die algebraischen und geometrischen
> vielfachheiten der beiden Eigenwerte von A an
> (charakteristisches Polynom:p(λ)=(λ-2)²(λ-3)) Berechnen
> Sie die Eigenvektoren und gegebenenfalls Hauptvektoren von
> A.
> b) Lösen sie das AWP.
> Hallo!
>
> Habe nun den Teil a) der Aufgabe gelöst:
>
> λ(1)=2 , n(1)=3
> λ(2)=3, n(2)=1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da der Rang(A-λ(1)*I)=3 --> g(1)=1
>
> der Eigenvektor zu λ(1) hat die Form:
>
> [mm]v(1)=s*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Rang(A-λ(2)*I)=3 --> g(2)=1
> der Eigenvektor zu λ(2) hat die Form:
>
> [mm]v(2)=t*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hauptvektor zum Eigenwert λ(2) existiert nicht da n(2)=1.
>
> Zu den Hauptvektoren von λ(1):(A-λ(1)*I)h(1)=v
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&-1&;s\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
Hier hast Du Dich irgendwo verrechnet:
[mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&\blue{+}1&;\red{0}\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]->h(1)=s*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 1 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> (A-λ(1)*I)*h(2)=h(1):
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;(s/4)-r \\-3 &-1&1&1&;s+r\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\1&0&-3&-2&;r\end{pmatrix}--->[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0&1&0&;-s/2 \\0 &1&0&1&;s-(3r/2)\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\0&0&0&0&;(5s/4)-(3r/2)\end{pmatrix}[/mm]
>
> also muss gelten: (5s/4)-(3r/2)=0
>
> für s=4/5 , r=3/2 --> [mm]h(1)=\begin{pmatrix} -7 \\ 22 \\ -8\\10 \end{pmatrix}, v(1)=\begin{pmatrix} 15 \\ -30 \\ -15\\30 \end{pmatrix}[/mm]
> (h(1),v(1) wurden mit 15 multipliziert)
> [mm]h(2)=\begin{pmatrix} 4/30 \\ -1/5 \\ -7/30\\0 \end{pmatrix}+a*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> für [mm]a*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> setze ich nun [mm]\begin{pmatrix} 15 \\ -30 \\ -15\\30 \end{pmatrix}[/mm]
> ein (Vektor v(1))
>
> [mm]-->h(2)=\begin{pmatrix} 19/30 \\ -151/30 \\ -457/30\\30 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wie löse ich nun den Punkt b) meiner Aufgabe ?
>
> Würde es Reichen die Fundamentalmatrix der Form:
>
> X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t))
> an zu geben?
>
> LG Scherzkrapferl
>
> ps: kann sein dass ich mich bei den Hauptvektoren vertan
> habe :-S
Gruss
MathePower
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> >
> > Hauptvektor zum Eigenwert λ(2) existiert nicht da n(2)=1.
> >
> > Zu den Hauptvektoren von λ(1):(A-λ(1)*I)h(1)=v
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&-1&;s\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> Hier hast Du Dich irgendwo verrechnet:
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&\blue{+}1&;\red{0}\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
vielen Dank für die Korrektur - habe mich schon gewundert dass der 1. Hauptvektor in der allgemeinen Lösung nicht dem 1. Eigenvektor enthält. habe es nachgerechnet
daraus folgt: [mm] ->h(1)=s*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 0 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
(A-λ(1)*I)*h(2)=h(1):
[mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;(s/4)+(r/2) \\-3 &-1&1&1&;-r\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\1&0&-3&-2&;r\end{pmatrix}--->[/mm]
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;(-3s/8)+(r/4) \\0 &1&0&1&;s\\0&0&1&1/2&;(-s/8)-(r/4)\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
setze h4=t --> [mm] h(2)=s*\begin{pmatrix} -3/8 \\ 1 \\ -1/8\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 0 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}
[/mm]
für s=8, r=4, t=2 folgt:
[mm] h(1)=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0\\4 \end{pmatrix},h(2)=\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -3\\2 \end{pmatrix}
[/mm]
>
> >
> > Wie löse ich nun den Punkt b) meiner Aufgabe ?
> >
> > Würde es Reichen die Fundamentalmatrix der Form:
> >
> >
> X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t))
> > an zu geben?
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> >
> >
> > >
> > > Hauptvektor zum Eigenwert λ(2) existiert nicht da n(2)=1.
> > >
> > > Zu den Hauptvektoren von λ(1):(A-λ(1)*I)h(1)=v
> > >
> > > [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&-1&;s\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> >
> > Hier hast Du Dich irgendwo verrechnet:
> >
> >
> > [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;s/2 \\-3 &-1&1&1&;-s\\0&0&2&1&;-s/2\\1&0&-3&-2&;s\end{pmatrix}--->\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;s/4 \\0 &1&0&\blue{+}1&;\red{0}\\0&0&1&1/2&;-s/4\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
> >
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>
>
> vielen Dank für die Korrektur - habe mich schon gewundert
> dass der 1. Hauptvektor in der allgemeinen Lösung nicht
> dem 1. Eigenvektor enthält. habe es nachgerechnet
>
> daraus folgt: [mm]->h(1)=s*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 0 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> (A-λ(1)*I)*h(2)=h(1):
>
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 1&0&0&;(s/4)+(r/2) \\-3 &-1&1&1&;-r\\0&0&2&1&;(-s/4)-(r/2)\\1&0&-3&-2&;r\end{pmatrix}--->[/mm]
>
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0&0&-1/2&;(-3s/8)+(r/4) \\0 &1&0&1&;s\\0&0&1&1/2&;(-s/8)-(r/4)\\0&0&0&0&;0\end{pmatrix}[/mm]
>
> setze h4=t --> [mm]h(2)=s*\begin{pmatrix} -3/8 \\ 1 \\ -1/8\\0 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 1/4 \\ 0 \\ -1/4\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1 \\ -1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> für s=8, r=4, t=2 folgt:
>
> [mm]h(1)=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0\\4 \end{pmatrix},h(2)=\begin{pmatrix} -1 \\ 6 \\ -3\\2 \end{pmatrix}[/mm]
>
>
Es muß doch sein:
[mm]\left(A-2*I\right)*h\left(2\right)=h\left(1\right)[/mm]
Und das ist hier nicht der Fall.
Demnach muß h(1) lauten:
[mm]h(1)=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ \red{-4}\\4 \end{pmatrix}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie löse ich nun den Punkt b) meiner Aufgabe ?
> > >
> > > Würde es Reichen die Fundamentalmatrix der Form:
> > >
> > >
> >
> X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t))
> > > an zu geben?
>
> LG Scherzkrapferl
>
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
>
> Es muß doch sein:
>
> [mm]\left(A-2*I\right)*h\left(2\right)=h\left(1\right)[/mm]
>
> Und das ist hier nicht der Fall.
>
> Demnach muß h(1) lauten:
>
> [mm]h(1)=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ \red{-4}\\4 \end{pmatrix}[/mm]
>
verstehe ich das richtig wenn ich davon ausgehe, dass ich die Hauptvektoren richtig berechnet habe, jedoch h(1) erst nach dieser Prozedur EINDEUTIG angeben kann?
LG Scherzkrapferl
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Hallo scherzkrapferl,
> Hallo MathePower,
>
> >
> > Es muß doch sein:
> >
> > [mm]\left(A-2*I\right)*h\left(2\right)=h\left(1\right)[/mm]
> >
> > Und das ist hier nicht der Fall.
> >
> > Demnach muß h(1) lauten:
> >
> > [mm]h(1)=\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ \red{-4}\\4 \end{pmatrix}[/mm]
> >
>
> verstehe ich das richtig wenn ich davon ausgehe, dass ich
> die Hauptvektoren richtig berechnet habe, jedoch h(1) erst
> nach dieser Prozedur EINDEUTIG angeben kann?
Die Gleichung
[mm]\left(A-2*I\right)*h\left(2\right)=h\left(1\right)[/mm]
dient nur zur Überprüfung, ob die Hauptvektoren
richtig angegeben wurden.
Die entsprechenden Hauptvektoren hast Du richtig
aus dem dazugehörigen Gleichungssystem errechnet.
Beim Einsetzen der gewählten Parameter
ist Dir ein Fehler unterlaufen.
>
> LG Scherzkrapferl
Gruss
MathePower
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ok danke :) ist mir jetzt ein bisschen peinlich :-S
Nun zu meiner eigentlichen Frage, falls du einverstanden bist:
Da es sich hier um ein homogenes System handelt, müsste die Lösung ja die Form: [mm] x(t)=c(1)x¹(t)+...+c(n)(x^n)(t)=X(t)c [/mm] , [mm] c\in R^n [/mm] haben.
sprich ich kann die Fundamentalmatrix X(t) so darstellen:
X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t))
wäre dies meine gesuchte Lösung?
LG Scherzkrapferl
ps: Tut mir wirklich leid wenn ich dich mit vielleich trivialen Dingen belästige. Leider ist unser Lineare Algebra Skript für technische Physik sehr schwach und geht auf dieses Kapitel wenig bis gar nicht ein. - verlangt wird es jedoch in ausführlichster Weise :(
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Hallo scherzkrapferl,
> ok danke :) ist mir jetzt ein bisschen peinlich :-S
>
> Nun zu meiner eigentlichen Frage, falls du einverstanden
> bist:
>
> Da es sich hier um ein homogenes System handelt, müsste
> die Lösung ja die Form:
> [mm]x(t)=c(1)x¹(t)+...+c(n)(x^n)(t)=X(t)c[/mm] , [mm]c\in R^n[/mm] haben.
>
> sprich ich kann die Fundamentalmatrix X(t) so darstellen:
>
> X(t)=(v(1)*(e^λ(1)t),(h(1)+t*v(1))*(e^λ(1)t),(h(2)+t*h(1)+(t²/2)*v(1))*(e^λ(1)t),(v(2)*(e^λ(2)t))
>
> wäre dies meine gesuchte Lösung?
Ja.
>
> LG Scherzkrapferl
>
> ps: Tut mir wirklich leid wenn ich dich mit vielleich
> trivialen Dingen belästige. Leider ist unser Lineare
> Algebra Skript für technische Physik sehr schwach und geht
> auf dieses Kapitel wenig bis gar nicht ein. - verlangt wird
> es jedoch in ausführlichster Weise :(
>
>
Gruss
MathePower
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Vielen, liebe Dank MathePower. Hast mir bis jetzt mehr beigebracht als meine Professorin in einem ganzen Semester :)
LG Scherzkrapferl
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