Anfangswertproblem < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien a>0, [mm] x_{0}\in\IR^{n} [/mm] und [mm] f:[0,1]\times\IR^{n}\to \IR^{n} [/mm] stetig in einer Umgebung von [mm] (0,x_{0})
[/mm]
Zeigen Sie, dass zum Anfangswertproblem $ x'(t)=f(t,x(t)); [mm] x(0)=x_{0} [/mm] $
a>0 existiert, sodass es mindestens eine Lösung in [0,a] hat.
Schreiben Sie dazu AWP in Integraldarstellung und betrachten sie dann für [mm] \alpha>0 [/mm] Funktionen [mm] x_{\alpha}(t)=x_{0} [/mm] für [mm] t\le [/mm] 0 und [mm] x_{\alpha}(t)=x_{0}+\int_{0}^{t}f(z,x_{\alpha}(z-\alpha)dz [/mm] für t<0
Verwenden Sie dann den Satz von Arzela-Ascoli. |
Hallo!
Also ich muss ja sagen, dass ich erstmal von Diffgleichungen keine Ahnung habe. Integraldarstellung heißt dann wohl sowas wie [mm] x(t)=\int(f(t,x(t))dt)
[/mm]
Doch was hat nun dieser Satz damit zu tun? Okay, wenn ich mal gezwungenermaßen mir irgendwas ausdenken muss, wie man den verwenden kann, dann: Ist die Menge der [mm] x_{\alpha} [/mm] gleichgradig stetig und [mm] \{x_{\alpha}(t)|\alpha>0\} [/mm] relativ kompakt in [mm] \IR^{n}. [/mm] Warum?
Und dann die [mm] x_{\alpha} [/mm] relativ kompakt in so nem Funktionenraum? In dem dann auch wegen irgendeinem Grund so nen gesuchtes x liegen muss?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich muß sagen, diese Aufgabe ist schon ein ziemlich schweres Ding ! Da wird von Euch verlangt, den Existenzsatz von Peano zu beweisen (als Übungsaufgabe !). Ich glaube ich seh nicht richtig.
Daher: schau nach im Buch: W. Walter; Gewöhnliche Differentialgleichungen (Springer, $ 7.
FRED
|
|
|
|
