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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Sa 28.08.2010 | | Autor: | ms85 |
| Aufgabe | | DGL: v´(t) = d * v + c mit AWP: v(t=0) = 0 |
Hallo,
also ich habe die DGL wie folgt gelöst:
1. homogene Lösung (d, v u. c sind Variablen, das c habe ich zunächst vernachlässigt)
v(t) = [mm] e^{ft} [/mm] * c3
2. inhomogene Lösung:
c3(t) = - [mm] \bruch{c}{f} [/mm] * [mm] e^{-ft} [/mm] + c4
3. Zur DGL zusammgengesetzt:
v(t) = [mm] (-\bruch{c}{f} [/mm] * [mm] e^{-ft} [/mm] + c4) * [mm] e^{ft} [/mm]
v(t) = [mm] -\bruch{c}{f} [/mm] + c4 * [mm] e^{ft} [/mm]
das [mm] e^{-ft} [/mm] entfällt wegen der Mulitplikation mit dem [mm] e^{ft} [/mm] bzw. wird zu 1
Bis hier habe ich eine Musterlösung und habe es auch verstanden, nun kommt aber mein eigentliches Problem, das Anfangswertproblem.
Ich habe mich an der Lösung probiert, weiß aber nicht ob dies Richtig ist:
AWP v(t=0) = 0
Dies setzte ich jetzt in die Lösung der DGL ein, also für v(t) = 0 und für die Variable t ebenfalls 0 dann erhalte ich
0 = [mm] -\bruch{c}{f} [/mm] + c4 * 1 [mm] (e^{f*0} [/mm] = 1)
0 = [mm] -\bruch{c}{f} [/mm] + c4 / + [mm] \bruch{c}{f}
[/mm]
[mm] \bruch{c}{f} [/mm] = c4
c4 = [mm] \bruch{c}{f}
[/mm]
anschließend habe ich c4 in meine DGL eingesetzt:
v(t) = [mm] -\bruch{c}{f} [/mm] + c4 * [mm] e^{ft} [/mm]
v(t) = [mm] -\bruch{c}{f} [/mm] + [mm] \bruch{c}{f} [/mm] * [mm] e^{ft}
[/mm]
und erhalte als Endlösung:
v(t) = [mm] \bruch{c}{f} (e^{ft} [/mm] - 1)
Es wäre wirklich sehr nett wenn ihr kurz drüber schauen und mir sagen könntet, ob ich mit meiner Lösung, bzw. das Lösen des Anfangswertproblems, richtig liege oder mich total verrannt habe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
fg Michaela
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Hallo ms85,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> DGL: v´(t) = d * v + c mit AWP: v(t=0)
> = 0
> Hallo,
>
> also ich habe die DGL wie folgt gelöst:
>
> 1. homogene Lösung (d, v u. c sind Variablen, das c habe
> ich zunächst vernachlässigt)
>
> v(t) = [mm]e^{ft}[/mm] * c3
Hier hast Dich wohl verschrieben:
[mm]v(t) = c_{3}*e^{\red{d}*t}[/mm]
>
> 2. inhomogene Lösung:
>
> c3(t) = - [mm]\bruch{c}{f}[/mm] * [mm]e^{-ft}[/mm] + c4
>
> 3. Zur DGL zusammgengesetzt:
>
> v(t) = [mm](-\bruch{c}{f}[/mm] * [mm]e^{-ft}[/mm] + c4) * [mm]e^{ft}[/mm]
> v(t) = [mm]-\bruch{c}{f}[/mm] + c4 * [mm]e^{ft}[/mm]
Hier ebenfalls:
[mm]v(t) = -\bruch{c}{\red{d}} + c_{4} * e^{\red{d}t}[/mm]
>
> das [mm]e^{-ft}[/mm] entfällt wegen der Mulitplikation mit dem
> [mm]e^{ft}[/mm] bzw. wird zu 1
>
> Bis hier habe ich eine Musterlösung und habe es auch
> verstanden, nun kommt aber mein eigentliches Problem, das
> Anfangswertproblem.
> Ich habe mich an der Lösung probiert, weiß aber nicht ob
> dies Richtig ist:
>
> AWP v(t=0) = 0
>
> Dies setzte ich jetzt in die Lösung der DGL ein, also für
> v(t) = 0 und für die Variable t ebenfalls 0 dann erhalte
> ich
>
> 0 = [mm]-\bruch{c}{f}[/mm] + c4 * 1 [mm](e^{f*0}[/mm] = 1)
> 0 = [mm]-\bruch{c}{f}[/mm] + c4 / + [mm]\bruch{c}{f}[/mm]
> [mm]\bruch{c}{f}[/mm] = c4
> c4 = [mm]\bruch{c}{f}[/mm]
>
> anschließend habe ich c4 in meine DGL eingesetzt:
>
> v(t) = [mm]-\bruch{c}{f}[/mm] + c4 * [mm]e^{ft}[/mm]
>
> v(t) = [mm]-\bruch{c}{f}[/mm] + [mm]\bruch{c}{f}[/mm] * [mm]e^{ft}[/mm]
>
> und erhalte als Endlösung:
>
> v(t) = [mm]\bruch{c}{f} (e^{ft}[/mm] - 1)
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Es wäre wirklich sehr nett wenn ihr kurz drüber schauen
> und mir sagen könntet, ob ich mit meiner Lösung, bzw. das
> Lösen des Anfangswertproblems, richtig liege oder mich
> total verrannt habe.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> fg Michaela
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mo 30.08.2010 | | Autor: | ms85 |
Hallo MahtePower,
danke fürs drüber schauen.
Ich habe mich tatsächlich total verschrieben und anstatt mit dem d für die ganze DGL ein f eingesetzt. Ich werde es in meinem Heft direkt berichtigen.
lg ms85
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