Anfangswertproblem < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Fr 22.01.2010 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Mit Hilfe der Laplacetransformation ist folgendes Anfangswertproblem zu lösen
$ (y=y(t) ; x=x(t)) $
$ dx/dt=2x+y ; x(0)=1 $
$ dy/dt=3x+4y ; y(0)=0 $
Lösung: $ [mm] x(t)=3/4e^t+1/4e^{5t} [/mm] ; [mm] y(t)=-3/4e^t+3/4e^{5t} [/mm] $ |
Hallo
ich habe einfach folgendes gemacht:
$ x'-2x=y $
[mm] $x(s)=1/[s^2(s-2)]+1/(s-2) [/mm] $ mit $ [mm] y\rightarrow1/s^2 [/mm] $
Das ließ sich auch wunderbar rücktransformieren ist aber leider falsch...
Jemand ne Idee?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:33 Fr 22.01.2010 | | Autor: | Kroni |
Hi,
aus welchem Grund transformierst du [mm] $\mathcal L\{y(t)\}=\frac{1}{s^2}$?
[/mm]
Ich nehme an, dass du mit deiner Aufgabe eine gekoppelte DGL meinst.
Wenn man $x(t)$ und $y(t)$ hat, dann kann man doch einfach die gesamte Gleichung Laplace-Transformieren, wobei [mm] $\mathcal L\{\dot{x}(t)\}=s\tilde{x}(s)-x(t=0)$ [/mm] wobei [mm] $\tilde{x}(x)=\mathcal [/mm] L [mm] \{x(t)\}$.
[/mm]
Dann solltest du $y(t)$ auch Laplace-Transformieren, wo man dann dafuer [mm] $\tilde{y}(s)$ [/mm] schreiben kann. Dann bekommst du eine gekoppelte algebraische Gleichung, die man nach [mm] $\tilde{x}$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}$ [/mm] freistellen kann, wobei man dann Ausdruecke fuer die beiden hinschreiben kann.
Ich habs grad mal gerechnet, und bei der inversen Trafo kommt dann genau dein angegebenes Ergebnis raus.
Der Fehler liegt also darin, das $y(t)$ einfach durch ein [mm] $\frac{1}{s^2}$ [/mm] zu ersetzen, weil es ja eben eine Funktion der Zeit ist, die Laplace-Transformiert dann eben einfach wie ein [mm] $\tilde{y}(s)$ [/mm] ausschaut, dessen Gestalt man noch naeher bestimmen muss.
LG
Kroni
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