Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Do 12.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
$y'(x) = [mm] \frac{x}{y}$, [/mm] y(0) = 1 |
Hoi.
Ich habe hier erst einmal eine Trennung der Variablen vorgenommen
$y' = [mm] \frac{x}{y}$
[/mm]
$y'(x) = [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = [mm] \frac{x}{y}$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] y*dy = [mm] \int [/mm] x * dx$
$0,5 [mm] y^2 [/mm] = [mm] 0,5x^2+c$
[/mm]
[mm] $y^2 [/mm] = [mm] x^2+2c$
[/mm]
$y = [mm] \sqrt{x^2 +2c}$
[/mm]
Eigentlich ersetzt man nu doch das c mit C(x) und erhält
$y = [mm] \sqrt{2*C(x)+x}$
[/mm]
$y'= C'(x) * [mm] \frac{1}{\sqrt{2C(x)+x}}$
[/mm]
$C'(x) = [mm] \frac{y'}{2C(x) + x}$
[/mm]
Ich kenn das so, dass die rechte Seite jetzt ein Term oder eine Zahl ergeben müsste und man dann C'(x) integriert. Das geht hier aber nicht. Warum? Rechenfehler?
Ich kann das Problem nich lösen
Gruß, Wehm
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
du musst +- vor die Wurzel schreiben, bis zu dem Zeitpunkt, wo du mit dem C(x) beginnst ist alles richtig. Du hast dann deine Lösung mit einer Konstanten c, die auch nicht von x abhängt.
Wenn du y(0)=1 setzt und deine Lösung einsetzt erhälst du dann das c.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 12.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo.
> du musst +- vor die Wurzel schreiben, bis zu dem Zeitpunkt,
> wo du mit dem C(x) beginnst ist alles richtig. Du hast dann
> deine Lösung mit einer Konstanten c, die auch nicht von x
> abhängt.
>
> Wenn du y(0)=1 setzt und deine Lösung einsetzt erhälst du
> dann das c.
>
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Das hat mir leider nicht geholfen. ich kenne ja das allgemeine Verfahren Aber hier klappt das bei mir nicht
$ y = [mm] \pm \sqrt{x^2 +2c} [/mm] $
$y(0) = 1 = [mm] \pm \sqrt{2c} \gdw \pm [/mm] 2c = 1 [mm] \gdw c=\frac{1}{2} \vee c=-\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y = [mm] \sqrt{x^2+0,5}$
[/mm]
oder [mm] $y=\sqrt{x^2-0,5}$
[/mm]
Dann hätte ich ja zwei Lösungen
Ich meine, mich erinnern zu können, daß die Anfangswertprobleme aber immer eindeutig sind?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Existenz der Lösung folgt aus dem Satz von Peano, die Eindeutigkeit ist hier offensichtlich nicht erfüllt. Das ist auch kein Widerspruch, da die Funktion auf der rechten Seite keine Lipschitz-Bedingung erfüllt, daher ist der EE-Satz auch nicht anwendbar.
Somit ist die Lösung nicht eindeutig, obwohl AWP.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 12.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
> die Existenz der Lösung folgt aus dem Satz von Peano, die
> Eindeutigkeit ist hier offensichtlich nicht erfüllt. Das
> ist auch kein Widerspruch, da die Funktion auf der rechten
> Seite keine Lipschitz-Bedingung erfüllt, daher ist der
> EE-Satz auch nicht anwendbar.
>
> Somit ist die Lösung nicht eindeutig, obwohl AWP.
Meinst du damit, daß meine Lösung richtig ist?
Gruß
Wehm 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Do 12.07.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja genau.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 12.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
wenn Du mit allgemeinem Verfahren die "Variation einer Konstanten" meinst, dann klappt das schon. Die Funktion hinterher sieht aber gleich aus wie die Anfangsfunktion.
[mm]y = \pm\wurzel{x^2+2*C(x)}[/mm]
[mm]y' = \bruch{x+C'(x)}{\pm\wurzel{x^2+2*C(x)}}[/mm]
Jetzt einsetzen in die DGL:
[mm]y*y'=x[/mm]
[mm]y*y'=\pm\wurzel{x^2+2*C(x)}*\bruch{x+C'(x)}{\pm\wurzel{x^2+2*C(x)}}=x+C'(x)=x[/mm]
C'(x) = 0
C(x) = B
[mm]y = \pm\wurzel{x^2+2*B}[/mm]
[mm]y_{(0)} = \pm\wurzel{2*B}=1[/mm]
[mm](\pm\wurzel{2*B})^2=1^2[/mm]
[mm]2*B = 1[/mm]
[mm]B = \bruch{1}{2}[/mm]
[mm]y = \pm\wurzel{x^2+1}[/mm]
Ein negatives B würde die Gleichung nicht erfüllen, wegen
[mm]y_{(0)} = \pm\wurzel{-1} = 1[/mm]
[mm] \pm [/mm] i = 1
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Do 12.07.2007 | | Autor: | Wehm |
Hoi.
Ich bin begeistert von eurer fleißigen Hilfe, hat mir super weitergeholfen.
Danke,
Wehm
|
|
|
|
