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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Di 24.03.2015
Autor: questionpeter

Aufgabe
Gegeben sei das Anfangswertproblem

y''(t)-y'(t)+ty(t)=0, y(0)=2, y'(0)=1

Berechne mit verbesserte Euler-Verfahren und der Schrittweite [mm] h=\bruch{1}{2} [/mm] jeweils eine Approximation von y(1) und y'(1).

Hallo,

Ich habe einige probleme diese Aufgabe zu verstehen und ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

als 1. überführt man es in die 1. Ordnung d.h.

[mm] z_1=y [/mm] und [mm] z_2=y' \rightarrow z=\vektor{z_1 \\ z_2} [/mm]

[mm] z'=\vektor{z_1' \\ z_2'}=\vektor{z_2 \\ z_2-tz_1} [/mm] und [mm] z(0)=\vektor{2 \\ 1} [/mm]

biist dahin kein problem, aber dann ist nach Lösung die verbesserte Euler:

[mm] z^{j+1/2}=z^j+h/2f(t_j,z^j) [/mm]

[mm] z^{j+1}=z^j+hf(t_j+h/2,z^{j+1/2}) [/mm]

dann sagen sie, dass [mm] t_0=0, z_0=\vektor{2 \\ 1} [/mm] Startwerte sind.
Und mit [mm] t_n=1 [/mm] und h=0,5 ergibt das 2 Schritte

[mm] z^{0+1/2}=\vektor{2,25 \\ 1,25} \rightarrow z^1=\vektor{2,625 \\ 1,3438} [/mm]

[mm] z^{1+1/2}=\vektor{2,9609 \\ 1,3516} \rightarrow z^2=\vektor{3,3008 \\ 0,9092} [/mm]

Meine frage nun: WIe kommt man auf die verbesserte Euler-Verfahren und die werte [mm] z^{0+1/2},z^{1+1/2},z^1 [/mm] und [mm] z^2??? [/mm]

Wenn man einsetzt erhält man folgendena:
j=0: [mm] z^{0+1/2}=z^0+h/2f(t_0,z^0)=\vektor{2 \\ 1}+\bruch{1}{4}f(0,\vektor{2 \\ 1}). [/mm]

aber was ist mein f?
mein f müsste dann den vektor [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] sein, damit ich auf das ergebnis komme. falls es richtig ist, wie kommt man darauf?

dankeschön im voraus!

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Di 24.03.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> Gegeben sei das Anfangswertproblem
>  
> y''(t)-y'(t)+ty(t)=0, y(0)=2, y'(0)=1
>  
> Berechne mit verbesserte Euler-Verfahren und der
> Schrittweite [mm]h=\bruch{1}{2}[/mm] jeweils eine Approximation von
> y(1) und y'(1).
>  Hallo,
>  
> Ich habe einige probleme diese Aufgabe zu verstehen und ich
> hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>  
> als 1. überführt man es in die 1. Ordnung d.h.
>  
> [mm]z_1=y[/mm] und [mm]z_2=y' \rightarrow z=\vektor{z_1 \\ z_2}[/mm]
>  
> [mm]z'=\vektor{z_1' \\ z_2'}=\vektor{z_2 \\ z_2-tz_1}[/mm] und
> [mm]z(0)=\vektor{2 \\ 1}[/mm]
>  
> biist dahin kein problem, aber dann ist nach Lösung die
> verbesserte Euler:
>  
> [mm]z^{j+1/2}=z^j+h/2f(t_j,z^j)[/mm]
>  
> [mm]z^{j+1}=z^j+hf(t_j+h/2,z^{j+1/2})[/mm]
>  
> dann sagen sie, dass [mm]t_0=0, z_0=\vektor{2 \\ 1}[/mm] Startwerte
> sind.
>  Und mit [mm]t_n=1[/mm] und h=0,5 ergibt das 2 Schritte
>  
> [mm]z^{0+1/2}=\vektor{2,25 \\ 1,25} \rightarrow z^1=\vektor{2,625 \\ 1,3438}[/mm]
>  
> [mm]z^{1+1/2}=\vektor{2,9609 \\ 1,3516} \rightarrow z^2=\vektor{3,3008 \\ 0,9092}[/mm]
>  
> Meine frage nun: WIe kommt man auf die verbesserte
> Euler-Verfahren und die werte [mm]z^{0+1/2},z^{1+1/2},z^1[/mm] und
> [mm]z^2???[/mm]

>


Auf das verbesserte Eulerverfahren kommt man, wenn man
den Differenzenquotienten der exakten Lösung mit der
Taylorentwicklung des Verfahrensansatzes  vergleicht.

Hierbei ist zu beachten, dass es viele verschiedene Verfahren gibt,
die sich aus dem Vergleich ergebenden Bedingungsgleichungen
erfüllen.


> Wenn man einsetzt erhält man folgendena:
>  j=0: [mm]z^{0+1/2}=z^0+h/2f(t_0,z^0)=\vektor{2 \\ 1}+\bruch{1}{4}f(0,\vektor{2 \\ 1}).[/mm]
>  
> aber was ist mein f?


[mm]f\left(t, \ z \right)=\pmat{0 & 1 \\ -t & 1}z[/mm]


> mein f müsste dann den vektor [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] sein, damit
> ich auf das ergebnis komme. falls es richtig ist, wie kommt
> man darauf?
>


> dankeschön im voraus!


Gruss
MathePower

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