Anfangswertaufgabe Runge-Kutta < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) geben sie eine Anfangswertaufgabe 1. Ordnung an, welche die Funktion
f(x) =e^(pi*x)+sin(2x)-cos(2x) als Lösung besitzt. ( Betrachen sie die Anfangsbedingung an der Stelle 0)
b Berechnen sie mithilfe des Verfahrens von Runge-Kutta 4. Ordnung eine Nährung für den Wert y(0,5) in einem Schritt |
a ) ich versteh glaube ich differentialgleichungen mit anfangswerten und die herangehensweise. allerdings müsste ich hier ja "rückwärts" arbeiten. Hat jemand dazu einen Tipp oder Hinweise ?
b ) gibt es irgendwo eine gut verständliche Erklärung zu diesem Verfahren, am besten mit einem durchgerechneten Beispiel ?
Danke !!!
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Hallo Traumfabrik,
vielleicht findest Du nur deswegen kein Beispiel, weil Du Deine Aufgabe nicht gründlich gelesen hast?
Das Verfahren heißt nicht "Rungakutta", sondern "Runge-Kutta" nach zwei Menschen, die jeder ihren Nachnamen beigesteuert haben. 
Dazu findest Du viel im Netz, auch Beispiele. Schmeiß mal google an.
Den Titel Deiner Anfrage habe ich übrigens auch entsprechend geändert.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Fr 16.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Nimm an, du hast eine auf [mm] \IR [/mm] differenzierbare Funktion y.
Etwa [mm] y(x)=e^x+x
[/mm]
Dann ist [mm] y'(x)=e^x+1
[/mm]
Es folgt:
y'(x)-y(x)=1-x.
Und wie von Zauberhand (!) entpuppt sich die DGL
y'=y+1-x
als eine DGL 1. Ordnung, die obiges y als Lösung hat (obiges y ist natürlich nicht die einzige Lösung !)
Wenn Du willst, kannst Du noch das AWP
y'=y+1-x, y(0)=1
betrachten. Dieses AWP ist eindeutig lösbar. Wie sieht die Lösung aus ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Fr 16.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Zu a)
>
> Nimm an, du hast eine auf [mm]\IR[/mm] differenzierbare Funktion y.
>
> Etwa [mm]y(x)=e^x+x[/mm]
So eine beliebige Funktion halt.
> Dann ist [mm]y'(x)=e^x+1[/mm]
>
> Es folgt:
>
> y'(x)-y(x)=1-x.
>
> Und wie von Zauberhand (!) entpuppt sich die DGL
>
> y'=y+1-x
>
> als eine DGL 1. Ordnung, die obiges y als Lösung hat
> (obiges y ist natürlich nicht die einzige Lösung !)
Das ist ja ein wundersamer Zufall!
> Wenn Du willst, kannst Du noch das AWP
>
> y'=y+1-x, y(0)=1
>
> betrachten. Dieses AWP ist eindeutig lösbar. Wie sieht die
> Lösung aus ?
Ich sehe sie sozusagen vor mir, von oben herabkommend...
Was mich nur wundert, ist das Verhalten der Kanzlei Runge, Kutta und Partner. Haben die gerade Urlaub? Immer, wenn man sie nicht braucht, sind sie ja auch da. Und umgekehrt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Fr 16.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Zu a)
> >
> > Nimm an, du hast eine auf [mm]\IR[/mm] differenzierbare Funktion y.
> >
> > Etwa [mm]y(x)=e^x+x[/mm]
>
> So eine beliebige Funktion halt.
>
> > Dann ist [mm]y'(x)=e^x+1[/mm]
> >
> > Es folgt:
> >
> > y'(x)-y(x)=1-x.
> >
> > Und wie von Zauberhand (!) entpuppt sich die DGL
> >
> > y'=y+1-x
> >
> > als eine DGL 1. Ordnung, die obiges y als Lösung hat
> > (obiges y ist natürlich nicht die einzige Lösung !)
>
> Das ist ja ein wundersamer Zufall!
>
> > Wenn Du willst, kannst Du noch das AWP
> >
> > y'=y+1-x, y(0)=1
> >
> > betrachten. Dieses AWP ist eindeutig lösbar. Wie sieht die
> > Lösung aus ?
>
Hallo reverend,
> Ich sehe sie sozusagen vor mir, von oben herabkommend...
hey, toll, die Richtung stimmt.
>
> Was mich nur wundert, ist das Verhalten der Kanzlei Runge,
> Kutta und Partner. Haben die gerade Urlaub?
Ja, die sind in Karlkutta
Gruß FRED
> Immer, wenn man
> sie nicht braucht, sind sie ja auch da. Und umgekehrt.
>
> Grüße
> reverend
>
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zu Es folgt:
y'(x)-y(x)=1-x.
Das macht man um die Differenz der von y und y' zu bekommen und sozusagen zu "ergänzen" richtig ?
Analog dazu müsste ich doch imho erstmal die ableitung meiner funktion bilden:
f'(x) = pi * e^(pi*x)+2 cos (2x)- 2 sin (2x)
Danach f(x) abziehen und ich erhalte
pi * e ^(pi*x)+2 cos (2x) -2 sin (2x) = e ^(pi*x) + sin (2x) + cos (2x) +
(pi-1)*e^(pi*x)+cos(2x)- 3 sin (2x)
stimmt das ?
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Hallo nochmal,
> zu Es folgt:
>
> y'(x)-y(x)=1-x.
>
> Das macht man um die Differenz der von y und y' zu bekommen
> und sozusagen zu "ergänzen" richtig ?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Verstehe ich nicht. Hier geht es doch darum, eine DGl. 1. Ordnung aufzustellen. Man sucht nach einer "Kombination" von y und y', die nicht gleich alles verrät.
> Analog dazu müsste ich doch imho erstmal die ableitung
> meiner funktion bilden:
Ja, klar.
> f'(x) = pi * e^(pi*x)+2 cos (2x)- 2 sin (2x)
Das stimmt nicht. Rechne noch mal nach.
> Danach f(x) abziehen
Mag sein. Oder vielleicht addieren. Oder [mm] \pi*f(x) [/mm] abziehen. Oder noch was anderes.
> und ich erhalte
>
> pi * e ^(pi*x)+2 cos (2x) -2 sin (2x) = e ^(pi*x) + sin
> (2x) + cos (2x) +
> (pi-1)*e^(pi*x)+cos(2x)- 3 sin (2x)
> stimmt das ?
Naja, da die Ableitung nicht stimmt...
Grüße
reverend
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oh, mich verschaut tbh. die ableitung müsste
f'(x) = pi * e^(pi*x)+2 cos (2x) + 2 sin (2x)
richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Sa 17.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> oh, mich verschaut tbh. die ableitung müsste
> f'(x) = pi * e^(pi*x)+2 cos (2x) + 2 sin (2x)
>
> richtig ?
Ja
FRED
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Gibt es irgend ein Buch oder einen Link oder eine website wo dieses runge-kutta verfahren 4. ordnung einfach einmal durchgerechnet ist ?
Nicht allgemein, sondern Aufgabe, Verfahren, Lösung ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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