Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Do 21.10.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | | Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben und bestimmen Sie das maximale Exixtenzintervall der Lösungen. |
b) [mm] y'(x)=-sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}
[/mm]
c) [mm] y'(x)=\bruch{y(x)}{x}+x^2
[/mm]
Habe dazu eine Frage:
b) Prinzip: Trennung der Variablen. Da komme ich dann nach der Integration von beiden Seiten zu dem Ergebnis:
[mm] y*arctan(y)-(y*arctan(y)-\bruch{1}{2}ln(1+y^2))=-cos(x)
[/mm]
[mm] =>\bruch{1}{2}ln(1+y^2))=-cos(x)
[/mm]
ist das soweit richtig?
und bei der c) Prinzip, homogene, inhomogene DGL:
hom: [mm] y'(x)=\bruch{y(x)}{x}
[/mm]
=> [mm] \bruch{y'(x)}{y(x)}=x^{-1}
[/mm]
=> [mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}
[/mm]
...
=>y=x*c
=>y'=c'(x)
wenn ich das einsetze kommeich auf:
[mm] c'(x)=c+x^2
[/mm]
und da weiß ich dann nicht mehr weiter, weil ich auf der rechte Seite auch noch ein c habe, was sich ja meistens vorher wegkürzt, aber hier ja nicht. Habe ich einen Fehler gemacht, oder packe ich das "c" auf die andere Seite und def. mir eine neues c?
Gruß Danke
|
|
| |
|
> Lösen Sie die folgenden Anfangswertaufgaben und bestimmen
> Sie das maximale Exixtenzintervall der Lösungen.
> b) [mm]y'(x)=-sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}[/mm]
> c) [mm]y'(x)=\bruch{y(x)}{x}+x^2[/mm]
>
> Habe dazu eine Frage:
>
> b) Prinzip: Trennung der Variablen. Da komme ich dann nach
> der Integration von beiden Seiten zu dem Ergebnis:
> [mm]y*arctan(y)-(y*arctan(y)-\bruch{1}{2}ln(1+y^2))=-cos(x)[/mm]
> [mm]=>\bruch{1}{2}ln(1+y^2))=-cos(x)[/mm]
> ist das soweit richtig?
sieht gut aus, hab aber noch n minus vor dem log! und deine konstante fehlt
>
> und bei der c) Prinzip, homogene, inhomogene DGL:
soweit ich weiss, geht das nur bei linearen DGLs.
substituiere hier u=y/x
[mm] \Rightarrow [/mm] y=u*x
[mm] \Rightarrow [/mm] y'=u'*x+u
und das nun oben einsetzen für y' und y/x:
[mm] u'*x+u=u+x^2
[/mm]
da nun kürzen und auflösen nach tdv, am ende resubst.
> hom: [mm]y'(x)=\bruch{y(x)}{x}[/mm]
> => [mm]\bruch{y'(x)}{y(x)}=x^{-1}[/mm]
> =>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y}}=\integral_{}^{}{\bruch{dx}{x}}[/mm]
> ...
> =>y=x*c
> =>y'=c'(x)
> wenn ich das einsetze kommeich auf:
> [mm]c'(x)=c+x^2[/mm]
> und da weiß ich dann nicht mehr weiter, weil ich auf der
> rechte Seite auch noch ein c habe, was sich ja meistens
> vorher wegkürzt, aber hier ja nicht. Habe ich einen Fehler
> gemacht, oder packe ich das "c" auf die andere Seite und
> def. mir eine neues c?
>
> Gruß Danke
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
zu c)
Ausgehend von:
[mm] u'*x+u=u+x^2
[/mm]
=> [mm] u'x=x^2
[/mm]
=> u'=x
[mm] =>\integral_{}^{}{1du}=\integral_{}^{}{x*dx}
[/mm]
[mm] =>u=\bruch{1}{2}*x^2+c
[/mm]
=>u'=x+c'(x)
aber dann wäre ich ja wieder da angekomme wo ich oben (in Zeile 3) schon war... Oder muss ich vorher schon wieder resubstituieren?
Jetzt würde man ja die beiden u'(x) von oben und von unten gleich setzen und u(x) ersetzen, aber das macht hier irgendwie keinen Sinn?
Was die Anfangswerte angeht, die kommen doch erst ganz zum Schluss, wenn man eine Lösung für y(x) gefunden hat, um dann noch das c zu ermitteln?!
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Peon,
> Hallo,
>
> zu c)
> Ausgehend von:
> [mm]u'*x+u=u+x^2[/mm]
> => [mm]u'x=x^2[/mm]
> => u'=x
> [mm]=>\integral_{}^{}{1du}=\integral_{}^{}{x*dx}[/mm]
> [mm]=>u=\bruch{1}{2}*x^2+c[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> =>u'=x+c'(x)
> aber dann wäre ich ja wieder da angekomme wo ich oben (in
> Zeile 3) schon war... Oder muss ich vorher schon wieder
> resubstituieren?
Na klar, drücke die Lösungsfunktion [mm]u(x)[/mm] wieder in [mm]y(x)[/mm] aus, die suchst du doch ...
> Jetzt würde man ja die beiden u'(x) von oben und von
> unten gleich setzen und u(x) ersetzen, aber das macht hier
> irgendwie keinen Sinn?
Mit [mm] $u(x)=u=\frac{y}{x}=\frac{y(x)}{x}$ [/mm] ist doch [mm] $y=u\cdot{}x$ [/mm] bzw. [mm] $y(x)=u(x)\cdot{}x$
[/mm]
>
> Was die Anfangswerte angeht, die kommen doch erst ganz zum
> Schluss, wenn man eine Lösung für y(x) gefunden hat, um
> dann noch das c zu ermitteln?!
Ja!
>
> Gruß
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:02 Fr 22.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Wo hast Du denn die Anfangsbedingungen gelassen ?
FRED
|
|
|
| |
|
hallo ich sitze auch an der aufgabe b)
aber ich weiß grade nicht wie ich weiter machen soll:
[mm] y'(x)=-sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}= -sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}
[/mm]
dann hab ich das umgeformt und kam dann auf
[mm] \bruch{y(x)}{y^2(x)+1} [/mm] dy = -sin(x) dx
das muss ich dann ja nur noch integrieren..
hab mir überlegt, dass ich das sehr wahrscheinlich mittels substitution machen muss oder?
aber was genau muss ich dann hier substituieren?
kann mir vllt jemand da nen tipp geben?
|
|
|
| |
|
Hallo Kampfkekschen,
> hallo ich sitze auch an der aufgabe b)
> aber ich weiß grade nicht wie ich weiter machen soll:
> [mm]y'(x)=-sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}[/mm]
> [mm]\bruch{dy}{dx}= -sin(x)\bruch{y^2(x)+1}{y(x)}[/mm]
> dann hab
> ich das umgeformt und kam dann auf
>
> [mm]\bruch{y(x)}{y^2(x)+1}[/mm] dy = -sin(x) dx
> das muss ich dann ja nur noch integrieren..
> hab mir überlegt, dass ich das sehr wahrscheinlich
> mittels substitution machen muss oder?
> aber was genau muss ich dann hier substituieren?
>
> kann mir vllt jemand da nen tipp geben?
Ich geh davon aus, dass Du die linke Seite der Gleichung meinst:
[mm]\bruch{y}{y^2+1} \ dy[/mm]
Hier ist dann [mm]z=y^2+1[/mm] zu substituieren.
>
> gruß,
> peeetaaa
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
danke schonmal für die antwort
also hab jeztt nur die linke seite betrachtet:
[mm] z=y^2+1
[/mm]
z'=2y
[mm] \bruch{dz}{dy}=2y
[/mm]
dz=2y*dz
[mm] \integral \bruch{y}{z} [/mm] * [mm] \bruch{1}{2y}dz
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{z} [/mm] dz
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln|z|+c
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] ln|y^2+1|+c [/mm]
ist das bis hierhin richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja richtig
aber wenn man etwa wie hier, nämlich beinahe f'/f zu integrieren hat sollte man einfach wissen, dass das genau die Ableitung von ln(f) ist, dann muss man nie lange substituieren.
ähnliches für [mm] f'/\wurzel{f} [/mm] beinahe die Ableitung von [mm] \wurzel{f}
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo,
ich bin bei der b) ohne Substitution auf das gleiche Ergebnis gekommen, sollte also stimmen :)
Ich habe jetzt ein paar Fragen zu den Existenzintervallen:
für die a)
[mm] y(x)=e^{3*x}*(-\bruch{1}{5}*e^{-2*x}(cos(x)+2*sin(x))+\bruch{3}{5})
[/mm]
gibt es hier eirgendwelche Einschränkungen für x?
Weil die e-Funktion ist doch auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert und der cos(x) und sin(x) sind ebenfalls auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert. Also wäre die Lösung doch die o.g. mit x [mm] \in \IR
[/mm]
zub)
Hier kommt man ja auf die Lösung:
[mm] y(x)=\wurzel{e^{-2*cos(x)}*2*e^{2}-1} [/mm] bzw. [mm] y(x)=\wurzel{-e^{-2*cos(x)}*2*e^{2}-1}, [/mm] weil man ja zuvor den [mm] ln|1+y^2| [/mm] hat... aber hier existiert doch sowieso nur die 1. Lösung, da die zweite nicht definiert ist, da die e-Fkt. nicht negativ wird und somit der TEil unter der Wurzel negativ werden würde?!
Der Existenzbereich für die erste Lösung ist doch auch x [mm] \in \IR, [/mm] aus dem gleichen Grund wie oben (e-Fkt, nicht negativ) und damit wird auch der Teil unter der Wurzel nicht negativ.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 23.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu c)bzw b)
1. woher kommt die - bei [mm] e^{2*cos(x)}
[/mm]
2. du musst zeigen, dass der Ausdruck unter der Wurzel immer >0 ist.
zu a) bzw b)
3. warum schreibst du das - Zeichen unter die Wurzel und nicht davor?
zu a) hab ich die Lösung nicht überprüft, auch hier, die Dgl ist für y=0 nicht definiert was waren denn die anfangsbed?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:44 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Peon |
Danke für den Hinweis, habe meinen Vorzeichenfehler gefunden, irgendwann sollte man ein Schmierblatt auch mal ins Reine schreiben, damit man den Überblick nicht verliert... :)
|
|
|
| |
|
gut zu wissen...
hab jetzt so weitergemacht:
[mm] \bruch{1}{2}* ln|y^2+1|+c= [/mm] cos(x)
=> [mm] \bruch{1}{2}* ln|y^2+1|= [/mm] cos(x)-c
=> [mm] ln|y^2+1|= [/mm] 2*cos(x)+2c (2c=d)
=> [mm] y^2+1 [/mm] = exp(cos(x))+d)
=> [mm] y^2+1 [/mm] = exp(cos(x))*exp(d) exp(d)= [mm] d_1
[/mm]
[mm] =>y^2+1 [/mm] = [mm] exp(cos(x))*d_1
[/mm]
[mm] =>y^2= -1+exp(cos(x))*d_1
[/mm]
=>y= [mm] \pm \wurzel{-1+exp(cos(x))*d_1}
[/mm]
ist das so richtig?
was mache ich denn danach?
|
|
|
| |
|
> gut zu wissen...
> hab jetzt so weitergemacht:
>
> [mm]\bruch{1}{2}* ln|y^2+1|+c=[/mm] cos(x)
> => [mm]\bruch{1}{2}* ln|y^2+1|=[/mm] cos(x)-c
> => [mm]ln|y^2+1|=[/mm] 2*cos(x)+2c (2c=d)
hier hast du 2*cos stehen und verschlampst die zwischendurch
> => [mm]y^2+1[/mm] = exp(cos(x))+d)
> => [mm]y^2+1[/mm] = exp(cos(x))*exp(d) exp(d)= [mm]d_1[/mm]
> [mm]=>y^2+1[/mm] = [mm]exp(cos(x))*d_1[/mm]
> [mm]=>y^2= -1+exp(cos(x))*d_1[/mm]
> =>y= [mm]\pm \wurzel{-1+exp(cos(x))*d_1}[/mm]
sieht gut aus, bis auf die fehlende 2.. nun den anfangswert einsetzen und c bestimmen
>
> ist das so richtig?
> was mache ich denn danach?
|
|
|
| |
|
danke, die hab ich wirklich übersehen!!
aber hab trotzdem noch eine frage..und zwar muss ich ja das existenzintervall noch bestimmen...also sollte
[mm] -1+exp(2cos(x))\cdot{}d_1 [/mm] > 0 sein
aber wie kriege ich es jetzt hin diese gleichung nach x aufzulösen?
hab jetzt so angefangen
-1+ exp(2cos(x)) [mm] \codt{}d_1=0
[/mm]
-> exp(2cos(x))= [mm] \bruch{1}{d_1}
[/mm]
aber wie mache ich jetzt weiter?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kampfkekschen!
Wende nun die Umkehrfunktion der e-Funktion an, indem Du auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus [mm] $\ln(...)$ [/mm] anwendest.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Sa 23.10.2010 | | Autor: | Peon |
Hallo ich habe eine generelle Frage:
Ist [mm] y(x)\equiv0 [/mm] eingentlich auch immer eine Lösung, außer im b), da da y(x) im Nenner steht, oder wovon ist das abhängig, ob [mm] y(x)\equiv0 [/mm] eine Lösung ist? Danke
|
|
|
| |
|
> Hallo ich habe eine generelle Frage:
> Ist [mm]y(x)\equiv0[/mm] eingentlich auch immer eine Lösung,
> außer im b), da da y(x) im Nenner steht, oder wovon ist
> das abhängig, ob [mm]y(x)\equiv0[/mm] eine Lösung ist? Danke
einsetzen und schauen obs ne wahre aussage gibt. da in deiner ersten aufgabe das y im nenner steht, isses diesmal aber keine lösung!
gruß tee
|
|
|
| |
|
gut danke das hab ich jetzt gemacht und so kam ich auf
[mm] cos(x)=\bruch{ln|\bruch{1}{d_1}|}{2}
[/mm]
oder is das
[mm] cos(x)=\bruch{ ln|d_1|}{2}
[/mm]
wie kriege ich denn jetzt nur das x raus?
|
|
|
| |
|
Hallo Kampfkekschen,
> gut danke das hab ich jetzt gemacht und so kam ich auf
> [mm]cos(x)=\bruch{ln|\bruch{1}{d_1}|}{2}[/mm]
Die Betragsstriche sind hier überflüssig.
Damit steht hier:
[mm]cos(x)=\bruch{ln\left(\bruch{1}{d_1}\right)}{2}[/mm]
>
> oder is das
> [mm]cos(x)=\bruch{ ln|d_1|}{2}[/mm]
>
> wie kriege ich denn jetzt nur das x raus?
Wende jetzt die Umkehrfunktion des [mm]\cos[/mm]
auf beiden Seiten der Gleichung an.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
