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Anfangswertaufgabe: Kurze DGL
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:26 Mo 09.10.2006
Autor: DrRobotnik

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Lösen Sie die Anfangswertaufgabe

[mm]y' = y^2 sinx, \quad y(1) = 1.[/mm]

Auf welchem Intervall ist die Lösung (maximal) definiert.

Soweit ich weiß, löst man Aufgaben dieser Form durch einfaches Integrieren:

[mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{f(y)}} dy = \integral_{}^{} {g(x)}dx[/mm]. Also [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{y^2}}dy = \integral_{}^{} {sinx} dx[/mm]

Müsste dann

[mm]ln(y^2) = -cosx + C[/mm]
[mm]y^2 = e^C \cdot e^{-cosx}[/mm]
[mm]y = \wurzel{e^C \cdot e^{-cosx}}[/mm]

ergeben. (Glaube aber nicht, dass das hinhaut ^^.)

Nur kann ich nichts mit dem Anfangswert y(1) = 1 anfangen (ist meine erste DGL ;-) ). Und wann ist die Lösung maximal definiert?

VG

        
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Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mo 09.10.2006
Autor: Herby

Hallo,


[mm] \integral{\bruch{1}{y²} dy}=-\bruch{1}{y}+C [/mm]   für alle [mm] C\in\IR [/mm]


Maximum:  y'=0  und  y''<0


Liebe Grüße
Herby

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Anfangswertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Mo 09.10.2006
Autor: DrRobotnik


> Hallo,

Aloha,

> [mm]\integral{\bruch{1}{y²} dy}=-\bruch{1}{y}+C[/mm]   für alle
> [mm]C\in\IR[/mm]
>  
>
> Maximum:  y'=0  und  y''<0

Kannst Du mir das näher erklären? :-)

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:38 Mo 09.10.2006
Autor: Herby

was denn von beidem: das Integral oder das Maximum?


lg
Herby

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Anfangswertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 Mo 09.10.2006
Autor: DrRobotnik

Eigentlich beides. Warum integrierst Du nur auf einer Seite?  Und wie kommst Du auf das Maximum?

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mo 09.10.2006
Autor: Herby

Hallo,


sorry, dass das so rüberkam, als würde ich nur eine Seite integrieren wollen.

Ich hatte nur eine Seite aufgeführt, da dort dein Fehler lag.

> Soweit ich weiß, löst man Aufgaben dieser Form durch einfaches
> Integrieren:

> [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{f(y)}} dy = \integral_{}^{} {g(x)}dx[/mm]. Also [mm]\integral_{}^{} {\bruch{1}{y^2}}dy = \integral_{}^{} {sinx} dx[/mm]

> Müsste dann

> [mm]ln(y^2) = -cosx + C[/mm]
> [mm]y^2 = e^C \cdot e^{-cosx}[/mm]
> [mm]y = \wurzel{e^C \cdot e^{-cosx}}[/mm]

> ergeben. (Glaube aber nicht, dass das hinhaut ^^.)

stimmt auch nicht, denn das Integral auf der linken Seite heißt nach MBPotenzregel [mm] -\bruch{1}{y} [/mm]   (setze [mm] \bruch{1}{y²}=y^{-2}) [/mm]

Du kannst dann nach y auflösen, deinen Anfangswert einsetzen, ableiten und Extremstellen bestimmen wie gehabt.


Liebe Grüße
Herby

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:12 Mo 09.10.2006
Autor: DrRobotnik


> stimmt auch nicht, denn das Integral auf der linken Seite
> heißt nach MBPotenzregel [mm]-\bruch{1}{y}[/mm]   (setze
> [mm]\bruch{1}{y²}=y^{-2})[/mm]

Auf [mm]-\bruch{1}{y}[/mm] muss man mal kommen. ;-) Stimmt natürlich.

> Du kannst dann nach y auflösen, deinen Anfangswert
> einsetzen, ableiten und Extremstellen bestimmen wie
> gehabt.

Okay, ich probier's mal.

Vielen Dank!

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