Analytische Geometrie/Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
hallo!ich rechne nun schon 2 stunden und bekomme die 2. hälfte meiner aufgabe nicht heraus!sie lautet:
Von einer regelmäßigen quadratischen Pyramide ABCDS kennt man die Eckpunkte A [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 2}, [/mm] B [mm] \vektor{-1 \\4 \\ Bz} [/mm] und C [mm] \vektor{-3 \\ 2 \\10}.Der [/mm] Punkt P [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 8} [/mm] ist ein Punkt der Seitenfläche ADS.Berechne die fehlende z-Koordinate von B,die Koordinaten der Punkte D,M und S und das Volumen der Pyramide!
Meine Lösungsansätze:
[mm] \vektor{-1 \\ 4 \\ Bz} [/mm] - [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 2}=-6+6+Bz-2=0
[/mm]
Bz=2
[mm] \overrightarrow{AB}=\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}
[/mm]
= [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 10}
[/mm]
bis hierhin stimmt auch alles..aber ich bekomm einfach nicht S und M heraus!
Bitte helft mir!Danke im Voraus!Julia
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Hi, Julia,
> Von einer regelmäßigen quadratischen Pyramide ABCDS kennt
> man die Eckpunkte A [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 2},[/mm] B [mm]\vektor{-1 \\4 \\ Bz}[/mm]
> und C [mm]\vektor{-3 \\ 2 \\10}. Der[/mm] Punkt P [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 8}[/mm]
> ist ein Punkt der Seitenfläche ADS. Berechne die fehlende
> z-Koordinate von B, die Koordinaten der Punkte D, M und S und
> das Volumen der Pyramide!
>
> Meine Lösungsansätze:
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 4 \\ Bz}[/mm] - [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 2}=-6+6+Bz-2=0[/mm]
> Bz=2
Auch wenn [mm] B_{z}=2 [/mm] stimmt: Das ist reiner Zufall, denn
dieser Rechenweg ist unmöglich:
Die Differenz zweier OrtsVEKTOREN kann keine ZAHL ergeben!
Du hast zudem nirgends benutzt, dass die Grundfläche ABCD ein Quadrat ist, dass also rechte Winkel vorliegen und die Seiten gleich lang sein müssen!
Tipp: [mm] \overrightarrow{BA} \circ \overrightarrow{BC} [/mm] =0
und: [mm] \overline{BA}= \overline{BC}
[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AB}=\vektor{-6 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
>
> [mm]\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BA}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{3 \\ -4 \\ 10}[/mm]
Das ist nicht [mm] \overrightarrow{CD} [/mm] sondern [mm] \overrightarrow{OD}, [/mm] aber die Koordinaten stimmen!
>
> bis hierhin stimmt auch alles..
bis auf meine obigen Bemerkungewn!
> aber ich bekomm einfach
> nicht S und M heraus!
>
Wobei Du gar nicht erwähnt hast, was eigentlich M sein soll!
Ich vermute einfach mal: Der Diagonalenschnittpunkt ("Mittelpunkt") von ABCD.
Dann ist er gleichzeitig der Mittelpunkt der Strecke [AC] und lässt sich berechnen als:
[mm] \vec{m} [/mm] = [mm] \bruch{\vec{a}+\vec{c}}{2}
[/mm]
Ich krieg: M(4 / 0 / 6). (Ohne Gewähr!!)
Nun zur Spitze S:
Die liegt auf der Geraden g, die im Punkt M senkrecht auf der Grundfläche steht,
und auch
auf der Ebene E durch die Punkte A, D und P (denn es wird ja extra erwähnt, dass P der Fläche ADS angehören soll!)
Mein Vorschlag: Berechne S als Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
mit m ist der mittelpunkt der grundflächer der pyramide gemeint...aber im lösungsbuch steht,dass [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 6} [/mm] herauskommen soll!
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Hi, Julia,
freilich!
M(1 / 0 / 6) stimmt!
Hab' die ersten beiden Koordinaten (5 und -3) aus Versehen subtrahiert statt addiert!
Und beim Rest blickst Du durch?
Wenn nicht: Frag' nach!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
es tut mir so leid,dass ich schon wieder lästig bin!bitte rechne mir Bz genau aus,weil bei mir löst sich das beim multiplizieren auf,da fällt bei mir Bz weg!lg julia
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
ahh ich blicke nicht durch!kann das sein,dass die ebene wie folgt lautet:
E: [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 2}+s [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 10 }+u [/mm] * [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 8}
[/mm]
aber was ist dann g?bitte,bitte hilf mir?bin sehr gut in mathe,aber wir haben einen neuen lehrer und da kapier ich nichts,weil er uns das alles nicht erklärt!lg julia
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Hi, Juli,
Du stellst die Fragen schneller als unser bester 100m-Läufer startet!
Na gut, denn:
> ahh ich blicke nicht durch!kann das sein,dass die ebene wie
> folgt lautet:
> E: [mm]\vektor{5 \\ -2 \\ 2}+s[/mm] * [mm]\vektor{3 \\ -4 \\ 10 }+u[/mm] *
> [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 8}[/mm]
NÖÖÖ! Eine Ebene benötigt einen Aufpunkt (der passt bei Deinem Vorschlag) und 2 Richtungsvektoren, NICHT zwei weitere Punkte!
Hier müssen die Vektoren
[mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AP}
[/mm]
stehen!
>
> aber was ist dann g? bitte,bitte hilf mir? bin sehr gut in
> mathe,aber wir haben einen neuen lehrer und da kapier ich
> nichts,weil er uns das alles nicht erklärt! lg julia
Dazu muss ich erst mal wissen, ob Du schon das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren kennst.
Und evtl. auch die sog. "Normalenform" (Koordinatenform) einer Ebene!?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
ja ich kenne das vektorprodukt,aber das andere nicht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Do 03.11.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Juli,
> ja ich kenne das vektorprodukt,aber das andere nicht!
Nun, dann musst Du den Schnittpunkt zwischen Eben und Gerade halt Durch Gleichsetzungsverfahren bestimmen!
Nun aber zur Geraden g:
Ihr Aufpunkt ist klar: Das ist der Punkt M(1/0/6).
Der Richtungsvektor aber steht auf der Grundfläche senkrecht!
Daher kannst Du ihn als Vektorprodukt (daher meine Frage!)
aus den Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] berechnen!
Mach' das mal und dann sehen wir weiter!
mfG!
Zwerglein
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Hi, Julia,
wieso fällt da Bz weg?
Also:
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -6 \\ 2-Bz} [/mm]
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ -2 \\ 10-Bz} [/mm]
[mm] \vektor{6 \\ -6 \\ 2-Bz} \circ \vektor{-2 \\ -2 \\ 10-Bz} [/mm] = 0
-12 + 12 + (2-Bz)(10-Bz) = 0
(2-Bz)(10-Bz) = 0
Daraus ergibt sich: Bz = 2 oder Bz = 10.
Nun müssen auch die Längen von
[mm] \overrightarrow{BA} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC} [/mm]
übereinstimmen.
Das tun sie - wie man durch Einsetzen erkennt - nur für Bz=2.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
das [mm] vektorprodukt:\vektor{48 \\ 48\\ 24}= \vektor{2 \\ 2 \\1 } [/mm] darf ich das so kürzen??wie geht es weiter?es tut mir soo leid,dass ich deine zeit so beanspruche*sorryyy*
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Hi, Juli,
> das [mm]vektorprodukt:\vektor{48 \\ 48\\ 24}= \vektor{2 \\ 2 \\1 }[/mm]
> darf ich das so kürzen??wie geht es weiter?es tut mir soo
> leid,dass ich deine zeit so beanspruche*sorryyy*
Hmm: Das Ergebnis stimmt, und Du darfst auch kürzen, aber schreib' nicht:
[mm] \vektor{48 \\ 48\\ 24}= \vektor{2 \\ 2 \\1 }
[/mm]
sondern lieber
[mm] \vektor{48 \\ 48\\ 24}= 24*\vektor{2 \\ 2 \\1 }
[/mm]
Nun zur Geraden g:
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 6} [/mm] + [mm] k*\vektor{2 \\ 2 \\1 }
[/mm]
So: Und wo ist nun Dein Vorschlag für die Ebene E?
(Die musst Du ja mit der Geraden schneiden!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 03.11.2005 | | Autor: | juli2002 |
E: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\6}+s* [/mm] achhhh..ich habe wirklich null ahnung und ich muss diese aufgabe bis morgen haben und ich muss jetzt bald ins bett...ich flehe dich an,bitte rechne mirdir rechnung zu ende,ich wäre dir echt dankbar..ich sitze jetzt schon mehr als 3 stunden an der aufgabe und ich verliere die geduld*gg*
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Hi, Juli,
Die Ebene durch die Punkte A, D und P hat die folgende (mögliche) Parametergleichung:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -2 \\ 2} [/mm] + [mm] s*\vektor{2 \\ 2 \\ 8} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
Dies musst Du nun mit der Geradengleichung (g) gleichsetzen.
Dann kriegst Du 3 Gleichungen für die Unbekannten s, t und k:
I. 5 + 2s + t = 1 + 2k
II. -2 + 2s + 5t = 2k
III. 2 - 8s + 6t = 6+k
Nun lösen wir das Gleichungssystem.
1. Schritt: Subtraktion der beiden ersten Gleichungen:
I. - II. 7 - 4t = 1 <=> 4t = 6 <=> t = 1,5.
Dies in I eingesetzt und nach s auchgelöst ergibt: s = k - 2,75.
s und t werden nun in III. eingesetzt:
2 - 8(k-2,75) + 9 = 6+k
Daraus krieg' ich: k=3.
Wenn Du diesen Parameter in die Gerade g einsetzt,
kriegst Du: S(7 / 6 / 9).
Natürlich ohne Gewähr für Rechenfehler!
mfG!
Zwerglein
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