Analytische Geometrie < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] mit ihren Koordinatengleichungen [mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=8 zw. [mm] E_{2}: [/mm] 3x-4y=12
Außerdem sind zwei Kugeln definiert durch: [mm] K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25
[/mm]
[mm] K_{2} [/mm] hat den Mittelpunkt [mm] M_{2}(2,1,7) [/mm] und den Radius [mm] r_{2}=7
[/mm]
Aufgabe 1
Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden [mm] g_{s} [/mm] der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] die Kugel [mm] K_{1} [/mm] berühren.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes P der Ebene [mm] E_{2} [/mm] und der Kugel [mm] K_{1}. [/mm] |
I [mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=8
II [mm] E_{2}: [/mm] 3x-4y+0z=12
I*(-2)
-2x+4y-4z=-16
3x-4y+0z=12 +
x-4z=-4
x+z=1
x=r
z= 1-r
x,y in [mm] E_{1}
[/mm]
r-2y=6
y=-3+r
x= 0+r
y= -3+r
z= 1-r
[mm] x_{s}= \vektor{0 \\ -3 \\ 1}+r \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
Richtig?
[mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=8 [mm] K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25
[/mm]
[mm] \bruch{x-2y+2z-8}{3}=0 [/mm] r=5
d(M,E)=5
-> Tangentialebene somit berührt Ebene [mm] E_{1} [/mm] die Kugel [mm] K_{1}
[/mm]
[mm] E_{2}: [/mm] 3x-4y=12 [mm] K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25
[/mm]
[mm] \bruch{3x-4y-12}{5}=0 [/mm] r=5
d(M,E)= 5
-> Tangentialebene
[mm] m_{s}=m-d*n_{0}
[/mm]
= [mm] \vektor{-7 \\ -2\\13}-(-5)*\bruch{1}{5}\vektor{3 \\ -4\\0}
[/mm]
[mm] =\vektor{-7 \\ -2\\13}-\vektor{-3 \\ -4\\0}
[/mm]
[mm] =\vektor{-4\\ 2\\13}
[/mm]
Berührpunkt P(-4;2;13)
Kann jemand mal prüfen ob meine Rechnungen richtig sind?
Gruß STeffie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Fr 19.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Gegeben sind zwei Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] mit ihren
> Koordinatengleichungen [mm]E_{1}:[/mm] x-2y+2z=8 zw. [mm]E_{2}:[/mm]
> 3x-4y=12
> Außerdem sind zwei Kugeln definiert durch:
> [mm]K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25[/mm]
> [mm]K_{2}[/mm] hat den
> Mittelpunkt [mm]M_{2}(2,1,7)[/mm] und den Radius [mm]r_{2}=7[/mm]
>
> Aufgabe 1
> Ermitteln Sie eine Gleichung der Schnittgeraden [mm]g_{s}[/mm] der
> Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] die
> Kugel [mm]K_{1}[/mm] berühren.
> Bestimmen Sie die Koordinaten des Berührpunktes P der
> Ebene [mm]E_{2}[/mm] und der Kugel [mm]K_{1}.[/mm]
> I [mm]E_{1}:[/mm] x-2y+2z=8
> II [mm]E_{2}:[/mm] 3x-4y+0z=12
> I*(-2)
> -2x+4y-4z=-16
> 3x-4y+0z=12 +
>
> x-4z=-4
bis hierher ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> x+z=1
wie das?
aus dem darüber
z = r
x = 4r - 4
y = 3r - 6
daher kann deine schnittgerade nicht stimmen
(überprüfe es durch einsetzen)
> x=r
> z= 1-r
> x,y in [mm]E_{1}[/mm]
>
> r-2y=6
> y=-3+r
>
> x= 0+r
> y= -3+r
> z= 1-r
>
> [mm]x_{s}= \vektor{0 \\ -3 \\ 1}+r \vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> Richtig?
>
> [mm]E_{1}:[/mm] x-2y+2z=8 [mm]K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25[/mm]
>
> [mm]\bruch{x-2y+2z-8}{3}=0[/mm]
> r=5
> d(M,E)=5
>
> -> Tangentialebene somit berührt Ebene [mm]E_{1}[/mm] die Kugel
> [mm]K_{1}[/mm]
>
>
> [mm]E_{2}:[/mm] 3x-4y=12 [mm]K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25[/mm]
>
> [mm]\bruch{3x-4y-12}{5}=0[/mm]
> r=5
>
> d(M,E)= 5
> -> Tangentialebene
>
> [mm]m_{s}=m-d*n_{0}[/mm]
> = [mm]\vektor{-7 \\ -2\\13}-(-5)*\bruch{1}{5}\vektor{3 \\ -4\\0}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{-7 \\ -2\\13}-\vektor{-3 \\ -4\\0}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{-4\\ 2\\13}[/mm]
>
> Berührpunkt P(-4;2;13)
>
> Kann jemand mal prüfen ob meine Rechnungen richtig sind?
> Gruß STeffie
rest später
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Fr 19.12.2008 | | Autor: | weduwe |
ich erhalte als berührpunkt B(-4/-6/13).
der von dir berechnete punkt liegt nicht in [mm] E_2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Gegeben sind zwei Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] mit ihren Koordinatengleichungen [mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=8 zw. [mm] E_{2}: [/mm] 3x-4y=12
Außerdem sind zwei Kugeln definiert durch: [mm] K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25
[/mm]
[mm] K_{2} [/mm] hat den Mittelpunkt [mm] M_{2}(2,1,7) [/mm] und den Radius [mm] r_{2}=7 [/mm]
Aufgabe 2
Die Ebene [mm] E_{1} [/mm] gehört zu einer Schar paralleler Ebenen [mm] E_{a}. [/mm] In dieser Ebenenschar [mm] E_{a} [/mm] existieren Ebenen, welche die Kugel [mm] K_{1} [/mm] jeweils in einem Schnittkreis mit dem Radius [mm] r_{k}=4 [/mm] schneiden. Ermitteln Sie die Koordinaten der Mittelpunkte dieser Schnittkreise sowie eine Gleichung jeder dieser Ebenen! |
[mm] r_{k}= [/mm] 4
r=5
[mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
[mm] \vec{n_{0}}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
r²= [mm] d²+r_{k}²
[/mm]
d²= [mm] \wurzel{r²-r_{k}²}
[/mm]
d= [mm] \wurzel{5²-4²}
[/mm]
[mm] d=\pm3
[/mm]
[mm] M_{k}=\vec{m}-d*\vec{n_{0}}
[/mm]
[mm] M_{1} [/mm] (-8;0;11) [mm] M_{2} [/mm] (-6;-4;15)
Kann das mal jemand überprüfen? Bitte
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Sa 10.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind zwei Ebenen [mm]E_{1}[/mm] und [mm]E_{2}[/mm] mit ihren
> Koordinatengleichungen [mm]E_{1}:[/mm] x-2y+2z=8 zw. [mm]E_{2}:[/mm]
> 3x-4y=12
> Außerdem sind zwei Kugeln definiert durch:
> [mm]K_{1}:[\vec{x}-\vektor{-7 \\ -2\\13}]²=25[/mm]
> [mm]K_{2}[/mm] hat den
> Mittelpunkt [mm]M_{2}(2,1,7)[/mm] und den Radius [mm]r_{2}=7[/mm]
>
> Aufgabe 2
>
> Die Ebene [mm]E_{1}[/mm] gehört zu einer Schar paralleler Ebenen
> [mm]E_{a}.[/mm] In dieser Ebenenschar [mm]E_{a}[/mm] existieren Ebenen,
> welche die Kugel [mm]K_{1}[/mm] jeweils in einem Schnittkreis mit
> dem Radius [mm]r_{k}=4[/mm] schneiden. Ermitteln Sie die Koordinaten
> der Mittelpunkte dieser Schnittkreise sowie eine Gleichung
> jeder dieser Ebenen!
> [mm]r_{k}=[/mm] 4
> r=5
>
> [mm]\vec{n}= \vektor{1 \\ -2\\2}[/mm]
>
> [mm]\vec{n_{0}}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -2\\2}[/mm]
>
> r²= [mm]d²+r_{k}²[/mm]
> d²= [mm]\wurzel{r²-r_{k}²}[/mm]
> d= [mm]\wurzel{5²-4²}[/mm]
> [mm]d=\pm3[/mm]
>
> [mm]M_{k}=\vec{m}-d*\vec{n_{0}}[/mm]
>
> [mm]M_{1}[/mm] (-8;0;11) [mm]M_{2}[/mm] (-6;-4;15)
>
> Kann das mal jemand überprüfen? Bitte
Hallo,
kleiner Tipp zum Selbsttest:
Es ist richtig dass die gesuchten Schnittkreismitelpunkte vom Mittelpunkt der Kugel [mm] k_1 [/mm] den Abstand [mm] \wurzel{5^2-4^2}=3 [/mm] haben. Die Verbindungslinie beider Mittelpunkte muss nun senkrecht auf jeder Ebene der gegebenen Schar stehen.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
[mm] r_{k}= [/mm] 4
r=5
[mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
[mm] \vec{n_{0}}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -2\\2}
[/mm]
r²= [mm] d²+r_{k}²
[/mm]
d²= [mm] \wurzel{r²-r_{k}²}
[/mm]
d= [mm] \wurzel{5²-4²}
[/mm]
[mm] d=\pm3
[/mm]
[mm] M_{k}=\vec{m}-d*\vec{n_{0}}
[/mm]
[mm] M_{1} [/mm] (-8;0;11) [mm] M_{2} [/mm] (-6;-4;15)
Nun soll ich ja eine Gleichung jeder dieser Ebenen aufstellen
[mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=a
[mm] M_{1} [/mm] einsetzen, nach a umstellen
und dann?
Wie macht man das?
Gruß Steffie
Wie kann man das machen?
|
|
|
| |
|
Hallo Steffie90,
> [mm]r_{k}=[/mm] 4
> r=5
>
> [mm]\vec{n}= \vektor{1 \\ -2\\2}[/mm]
>
> [mm]\vec{n_{0}}= \bruch{1}{3}\vektor{1 \\ -2\\2}[/mm]
>
> r²= [mm]d²+r_{k}²[/mm]
> d²= [mm]\wurzel{r²-r_{k}²}[/mm]
> d= [mm]\wurzel{5²-4²}[/mm]
> [mm]d=\pm3[/mm]
>
> [mm]M_{k}=\vec{m}-d*\vec{n_{0}}[/mm]
>
> [mm]M_{1}[/mm] (-8;0;11) [mm]M_{2}[/mm] (-6;-4;15)
>
> Nun soll ich ja eine Gleichung jeder dieser Ebenen
> aufstellen
>
> [mm]E_{1}:[/mm] x-2y+2z=a
> [mm]M_{1}[/mm] einsetzen, nach a umstellen
> und dann?
> Wie macht man das?
[mm]M_{1}[/mm] muß in [mm]E_{1}[/mm] liegen.
Daher kannst Du den Punkt [mm]M_{1}[/mm] in die Ebenengleichung einsetzen,
und erhältst das a.
> Gruß Steffie
> Wie kann man das machen?
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
[mm] M_{1} [/mm] (-8;0;11) [mm] M_{2} [/mm] (-6;-4;15)
Nun soll ich ja eine Gleichung jeder dieser Ebenen aufstellen
[mm] E_{1}: [/mm] x-2y+2z=a
Dann erhalte ich für [mm] M_{1} [/mm] a= -32
[mm] M_{2} [/mm] a= 14
reicht das so, oder muss ich das noch irgendwo einsetzen?
Gruß Steffie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 13.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
