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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:19 Di 11.01.2005 | | Autor: | studentin |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, habe leider weder ein Ansatzpunkt noch eine Beweisidee, wäre sehr sehr dankbar, wenn mir einer hilft!!
Es sei
a) g(x,y):= { [mm] (x^3 y^5) [/mm] / [mm] (x^4 [/mm] + [mm] y^4)^2 [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) }
{ 0 falls (x,y) = (0,0)}
Zeige, dass
[mm] \partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] y [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {g(x,y) dx}|y=0 [mm] \not= \integral_{0}^{1} \partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] y g(x,y) | y=0 dx
Es sei
b) f(x,y):= { [mm] (x^2 [/mm] - [mm] y^2) [/mm] / [mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)^2 [/mm] falls (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) }
{ 0 falls (x,y) = (0,0)}
Zeige, dass
[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x,y)dy}) dx = [mm] \pi/4 [/mm] = - [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] ( [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x,y)dx}) dy
Danke in Voraus!
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Hallo,
ich habe folgenden Hinweis zu b)
[mm]\frac{{x^2 \; - \;y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\; = \;\frac{1}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; - \;\frac{{2y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\; = \;\frac{{ - 1}}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; + \;\frac{{2x^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}[/mm]
Diese kannst Du verwenden um die Gleichung zu beweisen.
Zu zeigen ist also:
[mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{{ - 1}}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; + \;\frac{{2x^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\;dy\;dx} } \; = \; - \int\limits_0^1 {\int\limits_0^1 {\frac{1}{{x^2 \; + \;y^2 }}\; - \;\frac{{2y^2 }}{{\left( {x^2 \; + \;y^2 } \right)^2 }}\;dx\;dy} } [/mm]
Bei der Berechnung des Wertes des Doppelintegrals habe ich noch keine Möglichkeit gefunden diesen zu verifizieren.
Ist bei a) g(x,y) identisch mit f(x,y)?
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:39 Mi 12.01.2005 | | Autor: | studentin |
Hallo Mathe Power!
Danke für die schnelle Hilfe, aber die Aufleitung klappt bei mir leider auch nicht, kann man vielleich irgendwie in den Nenner minus reinmogeln? Damit ich ihn (den Nenner) in zwei Produkte aufteilen kann. Oder wie kann man es anders ausrechnen?
Sorry, bei Aufgabe a) habe ich mich nur vertippt es sollte beide Male g(x) sein. Habe auch schon verbessert.
Liebe Grüße
Studentin
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Hallo studentin,
ich muss zugeben, dass die Aufgabe b) etwas schwer ist.
Trotzdem bin ich dahintergekommen, wie diese Aufgabe anzugehen ist.
Probiere es mal mit einer geeigneten Substitution.
Im Falle von [mm]\int {f\left( {x,y} \right)\;dx} [/mm] mit der Substitution [mm]x\; = \;y\;\tan \left( u \right)[/mm]. Dann wird daraus [mm]\int {f\left( {u,y} \right)\;du} [/mm].
Im Falle von [mm]\int {f\left( {x,y} \right)\;dy} [/mm] mit der Substitution [mm]y\; = \;x\;\tan \left( u \right)[/mm]. Dann wird daraus [mm]\int {f\left( {x,u} \right)\;du} [/mm].
Nach Berechnung dieser Integrale stösst Du auf ein Integral ähnlicher Bauart. Hier kannst Du ebenfalls solch eine Substitution verwenden.
Ist Dir der Begriff "Funktionaldeterminante" ein Begriff?
Gruss
MathePower
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