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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Hat der Graph von f an einer bestimmten Stelle [mm] x_0 [/mm] die x-Achse als waagerechte Tangente, dann gilt diers auch für den Graphen der Funktion d mit [mm] d(x)=f(x)*x^{-1}
[/mm]
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Guten Morgen!
Das Problem, welches ich mit dieser Aufgabe habe ist folgendes:
Es gibt verschiedene Beispiele bei den die obrige Aussage zutrifft und auch einige bei den das nicht der Fall ist. Z.B. Wenn [mm] f(x)=x^{3} [/mm] ist stimmt die Aussage und wenn [mm] f(x)=x^{2} [/mm] ist dann wideerum nicht.
Ich kann keine richtig strukturierete Antwortsmöglichkeit dafür finden und formulieren. Freue mich über Hilfe!
MfG Random
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> Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
>
> Hat der Graph von f an einer bestimmten Stelle [mm]x_0[/mm] die
> x-Achse als waagerechte Tangente, dann gilt diers auch für
> den Graphen der Funktion d mit [mm]d(x)=f(x)*x^{-1}[/mm]
>
> Guten Morgen!
>
> Das Problem, welches ich mit dieser Aufgabe habe ist
> folgendes:
>
> Es gibt verschiedene Beispiele bei den die obrige Aussage
> zutrifft und auch einige bei den das nicht der Fall ist.
> Z.B. Wenn [mm]f(x)=x^{3}[/mm] ist stimmt die Aussage und wenn
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] ist dann wideerum nicht.
>
> Ich kann keine richtig strukturierete Antwortsmöglichkeit
> dafür finden und formulieren. Freue mich über Hilfe!
>
> MfG Random
Hallo Random,
Wenn du Beispiele hast, bei denen die Aussage nicht zutrifft,
dann hast du das Problem doch im wesentlichen schon
gelöst. Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um die (allgemeine)
Aussage zu widerlegen !
Gruß al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Random |
Allerding. Jedoch wurde genau das in der Klausur mit 0 Punkten bewertet =)
Vielleicht brauch ich ne anständige Formulierung.
Es ist so bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] f'(x)=2x
[mm] d'(x)=x^2*-\bruch{1}{x^2}+2x^*x^-1
[/mm]
Für den Punkt 0 entsteht eine Definitionslücke. Die Aussage stimmt also nicht.
REicht das als Begründung ?
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> Allerdings. Jedoch wurde genau das in der Klausur mit 0
> Punkten bewertet =)
>
> Vielleicht brauch ich ne anständige Formulierung.
>
> Es ist so bei [mm]f(x)=x^2[/mm] f'(x)=2x
> [mm]d'(x)=x^2*-\bruch{1}{x^2}+2x^*x^-1[/mm]
>
> Für den Punkt 0 entsteht eine Definitionslücke. Die Aussage
> stimmt also nicht.
>
> Reicht das als Begründung ?
Also, wie gesagt, EIN Gegenbeispiel würde genügen.
Es genügt natürlich nicht, zu erwähnen, dass es
ein solches gibt, sondern man muss es klar auf den Tisch
legen können.
Ist nun f(x) = [mm] x^2 [/mm] mit [mm] x_0 [/mm] = 0 ein solches oder nicht ?
Es gilt offensichtlich f(0)=0 und f'(0)=0, d.h. der Graph
von f hat in [mm] P_0(0/0) [/mm] die x-Achse als Tangente.
Die zugehörige Funktion d hat die Gleichung
[mm]d(x) = f(x)*x^{-1}[/mm]
Der "naive" Weg wäre, einfach [mm]d(x) = \bruch{x^2}{x} = x[/mm]
zu setzen. Dann wäre [mm] d(0)=0 [/mm] und [mm] d'(0)=1 [/mm].
Genau genommen ist aber [mm]d(x) = x^2 * x^{-1}[/mm] an der Stelle
[mm]x=0[/mm] gar nicht definiert und damit auch die Ableitung nicht.
Also, ob "naïv" oder "pingelig" betrachtet: d hat bei [mm]x=0[/mm]
jedenfalls nicht die x-Achse als Tangente.
Wir haben also ein Gegenbeispiel, und damit ist
gezeigt, dass die behauptete Aussage nicht allgemein
gültig ist.
LG al-Chwarizmi
P.S. Wahrscheinlich hat Zwerglein mit seiner Vermutung Recht !
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> Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
>
> Es gibt verschiedene Beispiele bei den die obrige Aussage
> zutrifft und auch einige bei den das nicht der Fall ist.
Ich habe deine konkrete Aufgabe jetzt nicht geprüft, aber wenn ich mal davon ausgehe, dass deine Aussage "trifft manchmal zu und manchmal nicht" richtig ist, dann gilt doch folgendes:
Im Zweifel zugunsten des Angeklagten ... äääh... zugunsten der Widerlegung.
Im Klartext: Wenn es dir gelingt, nur ein einziges Beispiel zu finden, bei dem die Aussage nicht zutrifft, dann gilt: "Ich habe die Aussage widerlegt, und jeder, der diese Aussage vorher 'bewiesen' hat, hatte Unrecht."
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Random,
> Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
>
> Hat der Graph von f an einer bestimmten Stelle [mm]x_0[/mm] die
> x-Achse als waagerechte Tangente, dann gilt diers auch für
> den Graphen der Funktion d mit [mm]d(x)=f(x)*x^{-1}[/mm]
Ich vermute mal, Du hast was vergessen, nämlich: [mm] x_{o} \not= [/mm] 0.
Denn sonst wäre die Aufgabe viel zu leicht:
Da die Funktion d bei x=0 nicht definiert ist (wegen [mm] x^{-1}) [/mm] bräuchtest Du nur ein Beispiel zu nennen, bei dem der Graph der Funktion f die x-Achse für x=0 berührt: Dort wäre die Aussage dann natürlich falsch.
Mit der Zusatzvoraussetzung aber wird die Überlegung interessanter!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 30.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Beispiel:
f(x) = sin(x)
f'(x) = cos(x)
x0 = 0,5pi
Dann ist f'(x0) = 0, aber d'(x0) ist ungleich Null
FRED
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> Beispiel:
>
> f(x) = sin(x)
> f'(x) = cos(x)
>
> x0 = 0,5pi
>
> Dann ist f'(x0) = 0, aber d'(x0) ist ungleich Null
>
> FRED
Hallo Fred,
ich verstehe nicht ganz, was dieses Beispiel mit der
ursprünglichen Frage zu tun haben soll, denn [mm] f(x_0) \not= [/mm] 0
LG al-Ch.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Fr 30.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist ein Gegenbeispiel !
f(x0) ungleich Null ist doch nicht veboten.
FRED
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> Das ist ein Gegenbeispiel !
>
> f(x0) ungleich Null ist doch nicht veboten.
>
> FRED
hallo Fred,
die ursprüngliche Aufgabe lautete:
| Aufgabe | Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Hat der Graph von f an einer bestimmten Stelle [mm] x_0 [/mm] die x-Achse als waagerechte Tangente, dann gilt dies auch für den Graphen der Funktion d mit [mm] d(x)=f(x)*x^{-1} [/mm]
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dann muss doch offensichtlich gelten: [mm] f(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
LG al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Fred!
Das ist kein Gegenbeispiel, da an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] nicht die x-Achse als Tangente vorliegt.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Fr 30.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Loddar,
Du hast recht, da hab ich nicht aufgepasst.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Random!
Aus der Aufgabenstellung folgen doch folgende Gleichungen:
$$x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
[mm] $$f(x_0) [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$f'(x_0) [/mm] \ = \ 0$$
Nun bilde doch mal die Ableitung $d'(x)_$ mittels  Quotientenregel und setze ein.
Gruß
Loddar
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> Hallo Random!
>
>
> Aus der Aufgabenstellung folgen doch folgende Gleichungen:
> [mm]x \ \not= \ 0[/mm]
> [mm]f(x_0) \ = \ 0[/mm]
> [mm]f'(x_0) \ = \ 0[/mm]
>
> Nun bilde doch mal die Ableitung [mm]d'(x)_[/mm] mittels
> Quotientenregel und setze ein.
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Hallo Loddar,
Aus der ursprünglichen Aufgabenstellung:
| Aufgabe | Begründen oder widerlegen Sie die folgende Aussage:
Hat der Graph von f an einer bestimmten Stelle [mm] x_0 [/mm] die x-Achse als waagerechte Tangente, dann gilt dies auch für den Graphen der Funktion d mit [mm] d(x)=f(x)*x^{-1} [/mm]
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geht keineswegs hervor, dass x [mm] \not= [/mm] 0 oder [mm] x_0 \not= [/mm] 0 sein soll.
Siehe aber die Vermutung von Zwerglein, dass letzteres als Voraussetzung
wahrscheinlich gemeint war aber nicht erwähnt wurde.
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:19 So 01.06.2008 | | Autor: | Random |
Hallo Leute!
In der Aufgabenstellung ist NICHT erwähnt worden, dass x ungleich 0 sein soll.
Mir fällt auf, dass für [mm] f(x_0)=x^2 [/mm] gilt [mm] d'(x_0)=1. [/mm]
Dies ist eine gerade, also kann es sowieso nicht so sein, wie in der Aufgabenstellung, da eine Gerade keinen Hoh-, bzw. Tiefpunkt haben kann. xD
Jetzt weiss ich nicht ob das so richtig ist und ob das als Gegenbeispiel gilt. Ihr habt mich nämlich mit der obrigen Disskusion verwirrt xD
Danke schon Mal für eure Mühen.
Random
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> Hallo Leute!
>
> In der Aufgabenstellung ist NICHT erwähnt worden, dass x
> ungleich 0 sein soll.
>
> Mir fällt auf, dass für [mm]f(x_0)=x^2[/mm] gilt [mm]d'(x_0)=1.[/mm]
Wenn man es ganz genau nimmt, stimmt eben auch dies nicht
ganz, denn der Ausdruck [mm] x^2 * \bruch{1}{x}[/mm] ist für x=0
nicht definiert, weil [mm]\bruch{1}{0}[/mm] nicht definiert ist.
Diesen Fall habe ich in meinem früheren Posting dargestellt.
> Dies ist eine gerade
genaugenommen eine Gerade mit einer punktförmigen Lücke in (0/0)
> also kann es sowieso nicht so sein,
> wie in der Aufgabenstellung, da eine Gerade keinen Hoch-,
> bzw. Tiefpunkt haben kann. xD ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt weiss ich nicht ob das so richtig ist und ob das als
> Gegenbeispiel gilt. Ihr habt mich nämlich mit der obrigen
> Disskusion verwirrt xD
sorry... (es war trotzdem eine interessante Diskussion !)
> Danke schon Mal für eure Mühen.
>
> Random
Also, zusammengefasst:
Wenn [mm]x_0 = 0 [/mm] nicht ausgeschlossen war, dann
haben wir bestimmt dieses besagte Gegenbeispiel, und
die ursprüngliche Aussage ist widerlegt.
Schliesst man aber diesen (trivialen) Fall aus, so kann
man zeigen, dass die Aussage dann gültig ist.
Für diesen Nachweis muss man die Gleichung
[mm]d(x) = \bruch{f(x)}{x}[/mm]
nach Quotientenregel ableiten und sich dann überlegen,
ob aus den Annahmen [mm] x_0 \not=0 [/mm] , [mm] f(x_0)=0 [/mm] und [mm] f'(x_0)=0
[/mm]
geschlossen werden kann, dass dann auch [mm] d(x_0)=0 [/mm] und [mm] d'(x_0)=0
[/mm]
sein muss. Das ist recht einfach zu zeigen und war wahrschein-
lich mit der Aufgabe auch gemeint...
Vielleicht hat ja der Lehrer wieder einmal ein wichtiges
Detail vergessen...
LG Al-Chwarizmi
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