An Brigitte: Bemerkungen und Fragen < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 05:13 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Da ich morgen (naja, heute...  ) vermutlich wenig Zeit habe, stelle ich alle meine Fragen und Bemerkungen zu deiner Diss gerade mal hier ins Forum. (Man kann sie ja auch jederzeit wieder löschen, nicht die Diss, sondern meine Fragen und Bemerkungen. ) Der Vorteil hier ist, dass ich texen kann, schnell editieren kann und von überall her Zugriff habe.
Wundere dich nicht über die Zeit (4:00 Uhr). Ich habe zu spät angefangen zu lesen und bin gerade erst fertig geworden, da du einen am Schluss ja mit "furchtbaren" Rechnungen quälst.
Insgesamt ist die Arbeit, wie bereits mehrfach gesagt, bis jetzt extrem genial und super aufgeschrieben. 
Zu Seite 4, Def. 1.2:
Hier würde ich bei der Definition der Übergangsintensitäten schreiben: "..., falls die Grenzwerte existieren".
Zu Seite 9, Modellierung 1.12:
Frage meinerseits: Ist hier $A(t)$ auch eine Auszahlungsfunktion? Das sehe ich gerade nicht. Wenn nicht, dann sollte man ein anderes Symbol verwenden, oder?
Zu Seite 10, Modellierung 1.13:
Hier steht zweimal direkt hintereinander "so dass". Aus dem zweiten "so dass" würde ich ein "d.h." machen.
Zu Seite 10, Bemerkung 1.14:
Frage: Warum ist [mm] $A_l$ [/mm] an den Unstetigkeitsstellen von [mm] $I_l$ [/mm] für fast alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] stetig? Anschaulich ist mir das klar, aber kann man das vielleicht exakter begründen? Dies hat man mit der Existenz der Übergangswahrscheinlichkeiten zu tun, oder? Daher ist [mm] $I_{t_0}:=\{\omega: t \mapsto X_t(\omega)\ \mbox{ist unstetig in}\ t_0\}$ [/mm] für alle [mm] $t_0$ [/mm] eine Nullmenge, richtig?
Zu Seite 11, Beispiel 1.16:
Dort ist bei $dA(t)= ...$ ein Komma vor das + gerutscht.
Zu Seite 16, Definition 1.21:
Hier muss hinter [mm] $dB_t [/mm] = r_tB_tdt$ noch die Anfangsbedingung [mm] $B_0=1$, [/mm] sonst ist das nicht gleichbedeutend.
Zu Seite 17, Definition 1.24:
Hier fehlt ein Punkt nach [mm] $i=0,\ldots,g$ [/mm] (sehr wichtiger Hinweis )
Zu Seite 17, Annahme 1.25:
Zwischen "Grundsätzen" und "der" gehört ein Leerzeichen (ebenfalls sehr wichtig )
Seite 17, Definition 1.26
Hier ist mir die Bedingung so nicht mehr klar. Hatten wir das so gesagt?
Meiner Ansicht muss da hin: "Durch die angegebenen technischen Bedingungen ist im Falle von auf $[0,T]$ beschränkten Diffusionsprozessen der [mm] $S^{(i)}$ [/mm] gewährleistet,..."
Seite 17 ff., Definition 1.27 ff.
Hier würde ich konsequenterweise immer [mm] $U_t^H$ [/mm] statt [mm] $U_t$ [/mm] schreiben, da du ja auch [mm] $M_t^H$ [/mm] schreibst und so die Abhängigkeit von der Handelsstrategie $H$ klarer wird.
Seite 18, Annahme 1.33
Dort muss man [mm] $\sigma>0$ [/mm] voraussetzen, also
[mm]\sigma(,.,):[0,T] \times \IR \to \IR^+_{>0}[/mm],
sonst kommt es später zu Widersprüchen.
Nämlich hier:
Seite 20, Bemerkung 1.37
Es ist nicht klar, dass [mm] $\beta^T(t)>0$ [/mm] ist. Dies ist i.A. nur dann der Fall, wenn [mm] $\sigma>0$ [/mm] ist.
Seite 21, Bemerkung 1.40:
Zwischen "Abschnitt" und "B.3" gehört ein Leerzeichen.
Seite 22, Korollar 1.41:
Steckt bei dir in "zulässiger Handelsstrategie" das "selbstfinanzierend" bereits mit drin? Wenn nein, dann solltest du es ergänzen.
Wenn du es eben gemacht hast, muss ich auch überall ein "H" an das [mm] $U_t$.
[/mm]
Seite 26, Modellierung 2.2:
(Lebesgue-)integrierbaren Funktionen mit großem "L".
Statt: "Außerdem wird die stochastische Unabhängigkeit der [mm] $\sigma$-Algebren ${\cal F}_t$ [/mm] und [mm] ${\cal F}_t'$ [/mm] für alle $t [mm] \in [/mm] [0,T]$ vorausgesetzt" würde ich schreiben: "Es wird die stochastische Unabhängigkeit von [mm] ${\cal F}_T$ und${\cal F}_T'$ [/mm] vorausgesetzt, dann folgt das andere (scheinbar allgemeinere) nämlich automatisch.
Seite 27, Bemerkung 2.4:
Hier würde ich schreiben: "Damit ist gemeint, dass es bei der Ermittlung... für die verschiedenen Verträge in der biometrischen Komponente lediglich den erwarteten Barwert..."
Seite 31, Lemma 2.8
Wieso benötigt man eigentlich $D(t)$ für $t<T$, insbesondere: wieso braucht man deren [mm] ${\cal F}_t'$-Messbarkeit?
[/mm]
Seite 37, Beweis von Satz 3.3:
Es ist nicht klar, dass die Ableitung von $g$ allgemein existiert. Man weiß nur, dass die rechtsseitige Ableitung von $g$ an der Stelle $y=t$ existiert, mehr nicht. Daher solltest du schreiben: "Rein formal ist die erste Ableitung von $g$ gegeben durch... Die rechtsseitige Ableitung an der Stelle $y=t$ existiert und ist gleich..." Das gilt auch vorher schon. Der Beweis funktioniert ja nur für $h>0$, oder? Oder schreibe ich da jetzt Schwachsinn? Sind die Übergangsintensitäten wirklich Ableitungen oder nur rechtsseitige Ableitungen? (Habe den Koller gerade nicht hier...)
Seite 38, Beweis von satz 3.3
Hier ist dir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Du darfst den Differentialquotienten nicht auseinanderziehen, weil
[mm] $\lim\limits_{h\to 0} \frac{V_j(t)}{h}$
[/mm]
nicht existiert. Schreib es besser anders auf, indem du [mm] $V_j(t)$ [/mm] in den Differentialquotienten explizit einsetzt.
Allgemeine wichtige Frage, fällt mir gerade ein: Handelt es sich bei den Differentialgleichungen des Deckungskapitals nicht auch (nur) um rechtsseitige Ableitungen? Dann sollte man das irgendwo vermerken. Oder man muss zusätzliche Differenzierbarkeitsvoraussetzungen machen.
Seite 39, Bemerkung 3.4:
Den Ausdruck "nur in Zustände wechselt, die nicht in [mm] $\{t_0,t_1,\ldots,t_q\}$ [/mm] enthalten sind" verstehe ich nicht. Das sind doch Zeitpunkte und keine Zustände. Ich nehme mal an, du meinst: "nur den Zustand zu Zeitpunkten $s [mm] \in [/mm] ]t,t+h]$ mit $s [mm] \notin \{t_0,t_1,\ldots,t_q\}$ [/mm] wechselt", oder?
Seite 39, Beispiel 3.5
Große "V"s statt kleiner.
Seite 41, Modellierung 3.6:
Hier wird [mm] $W_1(t)$ [/mm] nicht definiert.
Seite 46, Modellierung 3.11:
Hier muss "aus dem Prozess [mm] $(\tilde{W}_2(t))_{t \in [0,T]}$" [/mm] hin statt [mm] $(\tilde{W}_1(t))_{t \in [0,T]}$.
[/mm]
Seite 46, Bemerkung 3.12:
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{\mu - r}{\sigma_2}$ [/mm] statt
[mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{\mu - r}{\sigma}$ [/mm]
Seite 47, die Formeln für das Deckungskapital:
Ich würde auf Lemma 2.8 verweisen.
Seite 49 ff., Satz 3.15 ff:
Hier muss überall ein [mm] $\sigma_2$ [/mm] statt [mm] $\sigma$ [/mm] hin und ein [mm] $\tilde{W}_2$ [/mm] statt [mm] $\hat{W}$.
[/mm]
Seite 51, Beweis von Satz (ii):
Ich finde den Beweis zu knapp. Die Anwendung der Leibniz-Regel und hier speziell die Differentiation unter dem Integral geht irgendwie unter.
Seite 52, Satz 3.17:
Immer noch [mm] $\sigma_2$ [/mm] statt [mm] $\sigma$.
[/mm]
Seite 53, Modellierung 3.19
Da überschneiden sich Formel und Numerierung.
Seite 56, Beweis zu Satz 3.22:
Bei [mm] $V^u(t,r_t,S_t):= [/mm] ...$ ist das $du$ am Ende zu viel.
Unten solltest du, wie vorher [mm] $\beta_t^u$ [/mm] statt [mm] $\beta(t,u)$ [/mm] schreiben, jedenfalls sollte es einheitlich sein.
Seite 58, Beweis von Satz 3.22 ("Satz von Walther/Hartmann" ):
Hier muss es im Differential [mm] $d\pi(t;T,D)$ [/mm] statt [mm] $\pi(t;T,D)$ [/mm] heißen:
[mm] $V(t,r_t,S_t) [/mm] - [mm] \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) \ldots$,
[/mm]
und später rechnest du auch damit...
Seite 60, immer noch der Beweis:
Hier fehlt ganz oben auf der Seite ein [mm] $dW_1(t)$ [/mm] beim Differential von [mm] $d(v_t \, \pi(t;T,D))$.
[/mm]
Seite 61, Korollar 3.25
Da hat ein "Link" nicht geklappt ("???"). Ich würde im Beweis noch näher auf die affine Zinsstruktur eingehen, das wolltest du aber sicherlich eh noch machen.
Das war es. So, ich gehe jetzt ins Bett. .-)
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan,
zunächst äußere ich mich mal zu den meiner Ansicht nach klaren Fällen, damit die Bemerkungsliste kürzer wird
> Zu Seite 4, Def. 1.2:
>
> Hier würde ich bei der Definition der Übergangsintensitäten
> schreiben: "..., falls die Grenzwerte existieren".
Done.
> Zu Seite 10, Modellierung 1.13:
>
> Hier steht zweimal direkt hintereinander "so dass". Aus dem
> zweiten "so dass" würde ich ein "d.h." machen.
Wieso "d.h."? Das passt in meinen Augen nicht so gut. Mein Favorit ist "mit".
> Zu Seite 11, Beispiel 1.16:
>
> Dort ist bei $dA(t)= ...$ ein Komma vor das + gerutscht.
>
> Zu Seite 16, Definition 1.21:
>
> Hier muss hinter [mm] $dB_t [/mm] = r_tB_tdt$ noch die
> Anfangsbedingung [mm] $B_0=1$, [/mm] sonst ist das nicht
> gleichbedeutend.
>
> Zu Seite 17, Definition 1.24:
>
> Hier fehlt ein Punkt nach [mm] $i=0,\ldots,g$ [/mm] (sehr wichtiger
> Hinweis )
>
> Zu Seite 17, Annahme 1.25:
>
> Zwischen "Grundsätzen" und "der" gehört ein Leerzeichen
> (ebenfalls sehr wichtig )
Done. Done. Done. Done. Wahnsinn, was man da doch noch alles übersieht.
> Seite 17 ff., Definition 1.27 ff.
>
> Hier würde ich konsequenterweise immer [mm] $U_t^H$ [/mm] statt [mm] $U_t$ [/mm]
> schreiben, da du ja auch [mm] $M_t^H$ [/mm] schreibst und so die
> Abhängigkeit von der Handelsstrategie $H$ klarer wird.
Done.
> Seite 18, Annahme 1.33
>
> Dort muss man [mm] $\sigma>0$ [/mm] voraussetzen, also
>
> [mm]\sigma(,.,):[0,T] \times \IR \to \IR^+_{>0}[/mm],
>
> sonst kommt es später zu Widersprüchen.
Das meinte ich mit [mm]\IR^+[/mm]. Ich sollte noch ein Symbolverzeichnis anfertigen...
> Seite 21, Bemerkung 1.40:
>
> Zwischen "Abschnitt" und "B.3" gehört ein Leerzeichen.
Done.
> Seite 22, Korollar 1.41:
>
> Steckt bei dir in "zulässiger Handelsstrategie" das
> "selbstfinanzierend" bereits mit drin? Wenn nein, dann
> solltest du es ergänzen.
Steckt in Def. 1.29.
> Seite 26, Modellierung 2.2:
>
> (Lebesgue-)integrierbaren Funktionen mit großem "L".
>
> Statt: "Außerdem wird die stochastische Unabhängigkeit der
> [mm] $\sigma$-Algebren ${\cal F}_t$ [/mm] und [mm] ${\cal F}_t'$ [/mm] für alle
> $t [mm] \in [/mm] [0,T]$ vorausgesetzt" würde ich schreiben: "Es wird
> die stochastische Unabhängigkeit von [mm] ${\cal F}_T$ und${\cal
> F}_T'$ [/mm] vorausgesetzt, dann folgt das andere (scheinbar
> allgemeinere) nämlich automatisch.
Done. Done.
> Seite 38, Beweis von satz 3.3
>
> Hier ist dir ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen. Du darfst
> den Differentialquotienten nicht auseinanderziehen, weil
>
>
> [mm] $\lim\limits_{h\to 0} \frac{V_j(t)}{h}$
[/mm]
>
> nicht existiert. Schreib es besser anders auf, indem du
> [mm] $V_j(t)$ [/mm] in den Differentialquotienten explizit einsetzt.
Au weia. Klar, da hast Du Recht!!!! Done.
> Seite 39, Beispiel 3.5
>
> Große "V"s statt kleiner.
Kommt davon, wenn man v(t) durch [mm] v_t [/mm] ersetzt...
Done.
> Seite 41, Modellierung 3.6:
>
> Hier wird [mm] $W_1(t)$ [/mm] nicht definiert.
Meinst Du, ich sollte das noch mal als Brownsche Bewegung einführen? Habe mich ja auf die erste Modellierung bezogen, aber wahrscheinlich ist es besser, das noch mal zu wiederholen. Alles andere wiederhole ich ja auch - ist eh irgendwie peinlich.
> Seite 46, Modellierung 3.11:
>
> Hier muss "aus dem Prozess [mm] $(\tilde{W}_2(t))_{t \in
> [0,T]}$" [/mm] hin statt [mm] $(\tilde{W}_1(t))_{t \in [0,T]}$.
[/mm]
>
> Seite 46, Bemerkung 3.12:
>
> [mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{\mu - r}{\sigma_2}$ [/mm] statt
> [mm] $\lambda_2 [/mm] = [mm] \frac{\mu - r}{\sigma}$ [/mm]
>
> Seite 47, die Formeln für das Deckungskapital:
>
> Ich würde auf Lemma 2.8 verweisen.
>
> Seite 49 ff., Satz 3.15 ff:
>
> Hier muss überall ein [mm] $\sigma_2$ [/mm] statt [mm] $\sigma$ [/mm] hin und ein
> [mm] $\tilde{W}_2$ [/mm] statt [mm] $\hat{W}$.
[/mm]
Done. Done. Done. Done.
> Seite 51, Beweis von Satz (ii):
>
> Ich finde den Beweis zu knapp. Die Anwendung der
> Leibniz-Regel und hier speziell die Differentiation unter
> dem Integral geht irgendwie unter.
Ist halt genau dasselbe wie in (i). Daher habe ich mich kurz gefasst. Ist aber kein Problem, das noch zu ergänzen. Bei unserem Beweis später habe ich das ja auch ausführlicher gemacht. Du hast Recht.
> Seite 52, Satz 3.17:
>
> Immer noch [mm] $\sigma_2$ [/mm] statt [mm] $\sigma$.
[/mm]
>
> Seite 53, Modellierung 3.19
>
> Da überschneiden sich Formel und Numerierung.
>
> Seite 56, Beweis zu Satz 3.22:
>
> Bei [mm] $V^u(t,r_t,S_t):= [/mm] ...$ ist das $du$ am Ende zu viel.
>
> Unten solltest du, wie vorher [mm] $\beta_t^u$ [/mm] statt
> [mm] $\beta(t,u)$ [/mm] schreiben, jedenfalls sollte es einheitlich
> sein.
Done. Done. Done. Done.
> Seite 58, Beweis von Satz 3.22 ("Satz von Walther/Hartmann"
> ):
>
> Hier muss es im Differential [mm] $d\pi(t;T,D)$ [/mm] statt
> [mm] $\pi(t;T,D)$ [/mm] heißen:
>
> [mm] $V(t,r_t,S_t) [/mm] - [mm] \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) \ldots$,
[/mm]
>
> und später rechnest du auch damit...
Sorry, das finde ich nicht. Welche Zeile meinst Du da genau?
> Seite 60, immer noch der Beweis:
>
> Hier fehlt ganz oben auf der Seite ein [mm] $dW_1(t)$ [/mm] beim
> Differential von [mm] $d(v_t \, \pi(t;T,D))$.
[/mm]
Done.
> Seite 61, Korollar 3.25
>
> Da hat ein "Link" nicht geklappt ("???"). Ich würde im
> Beweis noch näher auf die affine Zinsstruktur eingehen, das
> wolltest du aber sicherlich eh noch machen.
Ja, der Link verweist ja auch auf ein Kapitel, das damals noch nicht existierte. Mittlerweile steht der Link. Aber ich wollte im Beweis nicht noch so viel mehr dazu schreiben. Mal sehen.
Tausend Dank noch mal. Du bist für mich ein absoluter Held.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Okay, dann nehme ich auch noch mal Stellung zu den bisherigen Unklarheiten:
> > Zu Seite 10, Modellierung 1.13:
> >
> > Hier steht zweimal direkt hintereinander "so dass". Aus
> dem
> > zweiten "so dass" würde ich ein "d.h." machen.
>
> Wieso "d.h."? Das passt in meinen Augen nicht so gut. Mein
> Favorit ist "mit".
Das, das ist wirklich viel besser. Mir war nur nichts Schlaueres eingefallen.
> > Seite 18, Annahme 1.33
> >
> > Dort muss man [mm] $\sigma>0$ [/mm] voraussetzen, also
> >
> > [mm]\sigma(,.,):[0,T] \times \IR \to \IR^+_{>0}[/mm],
> >
> > sonst kommt es später zu Widersprüchen.
>
> Das meinte ich mit [mm]\IR^+[/mm]. Ich sollte noch ein
> Symbolverzeichnis anfertigen...
Okay, das sollest du dann aber wirklich unbedingt hinschreiben. Meiner Erfahrung nach wird bei [mm] $\IR^+$ [/mm] die $0$ meistens dazugezählt.
> > Seite 22, Korollar 1.41:
> >
> > Steckt bei dir in "zulässiger Handelsstrategie" das
> > "selbstfinanzierend" bereits mit drin? Wenn nein, dann
>
> > solltest du es ergänzen.
>
> Steckt in Def. 1.29.
Okay. "Blinde werden sehend werden..." Ich warte immer noch auf den Messias.
> > Seite 41, Modellierung 3.6:
> >
> > Hier wird [mm] $W_1(t)$ [/mm] nicht definiert.
>
> Meinst Du, ich sollte das noch mal als Brownsche Bewegung
> einführen? Habe mich ja auf die erste Modellierung bezogen,
> aber wahrscheinlich ist es besser, das noch mal zu
> wiederholen. Alles andere wiederhole ich ja auch - ist eh
> irgendwie peinlich.
Das hat sich ja jetzt mit deiner Mail geklärt. Ich meinte das [mm] $W_1(t)$ [/mm] vom Maßwechsel, das nach Modellierung 3.6 kommt.
> > Seite 58, Beweis von Satz 3.22 ("Satz von
> Walther/Hartmann"
> > ):
> >
> > Hier muss es im Differential [mm] $d\pi(t;T,D)$ [/mm] statt
> > [mm] $\pi(t;T,D)$ [/mm] heißen:
> >
> > [mm] $V(t,r_t,S_t) [/mm] - [mm] \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) \ldots$,
[/mm]
> >
> > und später rechnest du auch damit...
>
> Sorry, das finde ich nicht. Welche Zeile meinst Du da
> genau?
Ich meine die Formel
[mm]d\pi(t;T,D) = \frac{1}{_{T-t}p_{x+1}} \left( dV(t,r_t,S_t) - d \left( \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) _{u-t}p_{x+t}\, du \right) \right) + d \left( \frac{1}{_{T_t}p_{x+t}} \right) \red{\pi(t;T,D)}[/mm].
Muss da nicht statt [mm] $\red{\pi(t;T,D)}$ [/mm] hin:
[mm] $V(t,r_t,S_t) [/mm] - [mm] \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) _{u-t}p_{x-t}\, [/mm] du$ ?
Oder irre ich mich?
> Ja, der Link verweist ja auch auf ein Kapitel, das damals
> noch nicht existierte. Mittlerweile steht der Link. Aber
> ich wollte im Beweis nicht noch so viel mehr dazu
> schreiben. Mal sehen.
Ja, schau mal. Ich gebe dir den Tipp da kurz drauf einzugehen, bin aber nicht beleidigt, wenn du ihn nicht beherzigst.
Hattest du eigentlich meine Mail heute morgen bekommen? Sie hatte sich mit deiner Frage bezüglich des Notartermins am Freitag überschnitten.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
> Ich meine die Formel
>
> [mm]d\pi(t;T,D) = \frac{1}{_{T-t}p_{x+1}} \left( dV(t,r_t,S_t) - d \left( \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) _{u-t}p_{x+t}\, du \right) \right) + d \left( \frac{1}{_{T_t}p_{x+t}} \right) \red{\pi(t;T,D)}[/mm].
>
>
> Muss da nicht statt [mm] $\red{\pi(t;T,D)}$ [/mm] hin:
>
> [mm] $V(t,r_t,S_t) [/mm] - [mm] \int_t^T P^u(t,r_t) a_0(u) _{u-t}p_{x-t}\, [/mm]
> du$ ?
>
> Oder irre ich mich?
Ich habe es zwar jetzt nicht vor mir, aber klar, jetzt sehe ich, was ich für einen Quark geschrieben habe. Sorry, dass ich das nicht gleich entdeckt habe.
> Hattest du eigentlich meine Mail heute morgen bekommen? Sie
> hatte sich mit deiner Frage bezüglich des Notartermins am
> Freitag überschnitten.
Ja, fand ich lustig, dass wir zur selben Zeit aneinander gedacht haben
Ich antworte gleich noch was - das gehört hier aber nicht hin...
Finde es ohnehin etwsa komisch, dass alle, die sich im Vers.mathematik-Forum eingetragen haben, jetzt immer eine Nachricht bekommen, wenn wir über meine Diss diskutieren, auch wenn ich die Vorteile dieser Kommunikationsart nicht abstreiten kann.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Di 25.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Siehst du, deine Mail kann ich jetzt nicht mehr lesen (dafür weiß ich jetzt, dass ich mich für morgen darauf freuen kann), diesen Beitrag dagegen kann ich jetzt schon lesen. Das macht mich unabhängig.
> Finde es ohnehin etwsa komisch, dass alle, die sich im
> Vers.mathematik-Forum eingetragen haben, jetzt immer eine
> Nachricht bekommen, wenn wir über meine Diss diskutieren,
> auch wenn ich die Vorteile dieser Kommunikationsart nicht
> abstreiten kann.
Naja, so viele sind das ja nicht, die da Mitteilungsmails bekommen. Und die paar werden es verkraften.
So ist deine Doktorarbeit wenigstens in Teilen schon mal veröffentlicht - hat doch was.
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan,
habe die letzten drei Stunden über das hier nachgedacht.
> Allgemeine wichtige Frage, fällt mir gerade ein: Handelt es
> sich bei den Differentialgleichungen des Deckungskapitals
> nicht auch (nur) um rechtsseitige Ableitungen? Dann sollte
> man das irgendwo vermerken. Oder man muss zusätzliche
> Differenzierbarkeitsvoraussetzungen machen.
Du hast definitiv recht, dass es sich eigentlich überall nur um rechtsseitige Ableitungen handelt, was an der Def. der Übergangswahrscheinlichkeiten hängt (hattest Du ja im Telefonat schon erwähnt). Diese sind ja z.B. für
[mm]p_{jk}(t,t-h)[/mm]
überhaupt nicht definiert. Es macht daher auch keinen Sinn, über linksseitige Stetigkeit oder Differenzierbarkeit nachzudenken. Dass in den Lehrbüchern diese Schwierigkeit so gut wie nie erwähnt wird, liegt meiner Ansicht nach an der dort meist vorausgesetzten Homogenität des Markov-Prozesses. Dort kommt es nur noch auf die Differenz zwischen zwei Zeitpunkten an, und da ist es dann egal, ob ich (t+h)-h oder t-(t-h) betrachte. Dort ergibt sich tatsächlich auch rechtsseitige Stetigkeit und Differnezierbarkeit (da das Argument selbst die Differenz zwischen zwei Zeitpunkten ist). Für unsere Zwecke bekommen wir wenigstens hin, dass
[mm]p_{jk}(t,u)[/mm]
für alle [mm]u\ge t[/mm] rechtsseitig stetig ist (nicht nur für t). Aber mehr geht in meinen Augen nicht.
Damit sind tatsächlich alle (partiellen) DGL'en nur rechtsseitig zu verstehen. Ich frage mich, ob ich den Operator
[mm]\frac{d}{dt}[/mm]
neu definieren sollte. Wie ätzend. Dass Koller und Persson darauf nicht eingehen, wundert mich überhaupt nicht :-(
Ich sehe jedenfalls keine Chance, das noch zu retten.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Witzig, denn ich habe vorhin auch darüber nachgedacht.
> Du hast definitiv recht, dass es sich eigentlich überall
> nur um rechtsseitige Ableitungen handelt, was an der Def.
> der Übergangswahrscheinlichkeiten hängt (hattest Du ja im
> Telefonat schon erwähnt). Diese sind ja z.B. für
>
> [mm]p_{jk}(t,t-h)[/mm]
> überhaupt nicht definiert.
Genau, daher sind die Übergangsintensitäten auf jeden Fall rechtsseitige Ableitungen.
Dennoch existieren für $t>s$ die (tatsächlichen) Ableitungen:
[mm] $\frac{d}{ds} p_{ij}(s,t)$
[/mm]
und
[mm] $\frac{d}{dt} p_{ij}(s,t)$.
[/mm]
Von daher war mein Einwand auf Seite 37 großer Unsinn! ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Ableitung von $g$ existiert für alle $y>t$, daher darfst du das so hinschreiben. Und für $y=t$ ist es dann halt eine rechtsseitige Ableitung, aber das macht ja nichts.
Das war idiotisch von mir.
> Damit sind tatsächlich alle (partiellen) DGL'en nur
> rechtsseitig zu verstehen.
Das sehe ich auch so, da dort ja tatsächlich die Ableitung von [mm] $p_{ij}(s,t)$ [/mm] an der Stelle $t=s$ betrachtet wird, und diese Ableitung ist nur eine rechtsseitige Ableitung.
> Ich frage mich, ob ich den
> Operator
> [mm]\frac{d}{dt}[/mm]
> neu definieren sollte.
Nein, würde ich nicht. Ich würde nur sagen, dass darunter -falls rechtsseitige Grenzwerte [mm] $\lim\limits_{h \downarrow 0} p_{ij}(t,t+h)$ [/mm] betrachtet werden- statt der Ableitung die rechtsseitige Ableitung verstanden wird. (Das kann man auch schöner aufschreiben als ich gerade.)
> Wie ätzend. Dass Koller und Persson darauf nicht eingehen, wundert mich überhaupt nicht :-(
Kein Kommentar. ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Drück mir für gleich bitte die Daumen.
Liebe Grüße
Stefan
P.S. Ich komme in das Europameisterschafts-Gewinnspiel nicht rein. Wenn ich mich anmelden möchte, stürzt die Seite immer ab. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Dennoch existieren für $t>s$ die (tatsächlichen)
> Ableitungen:
>
> [mm] $\frac{d}{ds} p_{ij}(s,t)$
[/mm]
>
> und
>
> [mm] $\frac{d}{dt} p_{ij}(s,t)$.
[/mm]
Woher weißt Du das? Ich sitze da schon den ganzen Tag dran, aber linksseitig bekomme ich das alles nicht hin, weil ich immer auch eine linksseitige Definition der Übergangsintensitäten bräuchte. Oder ich übersehe etwas Grundlegendes...
Ich verstehe auch nicht mehr den Beweis von Satz 1.5. Zunächst mal sind das ja wieder nur rechtsseitige Ableitungen. Zum anderen verstehe ich nicht, wieso
[mm] \limes_{h\downarrow0}p_{jl}(t+h,s)=p_{jl}(t,s)[/mm]
gilt. Dafür bräuchte ich ja die Stetigkeit von [mm] p_{jl} [/mm] in der ersten Komponente.
Wo geht denn überhaupt die Stetigkeit der Übergangsintensitäten ein? Ich habe den Verdacht, dass das gar nicht funktioniert. Woher weiß ich, dass zugehörige Übergangswahrscheinlichkeiten existieren? Ich bin völlig verwirrt.
> Von daher war mein Einwand auf Seite 37 großer Unsinn!
>
Nein, finde ich nicht. Ich habe auf die rechtsseitige Sache ja gar nicht geachtet. Und von daher war das schon wichtig, mich darauf hinzuweisen.
> Die Ableitung von $g$ existiert für alle $y>t$, daher
> darfst du das so hinschreiben. Und für $y=t$ ist es dann
> halt eine rechtsseitige Ableitung, aber das macht ja
> nichts.
Da aber auch hier nur $y=t$ interessiert, sollte man das auch erwähnen. Also kein großer Unsinn...
> Das war idiotisch von mir.
Finde ich nicht.
> Nein, würde ich nicht. Ich würde nur sagen, dass darunter -falls rechtsseitige Grenzwerte [mm] $\lim\limits_{h \downarrow 0} p_{ij}(t,t+h)$ [/mm] betrachtet werden- statt der Ableitung die rechtsseitige Ableitung verstanden wird. (Das kann man auch schöner aufschreiben als ich gerade.)
Ja, das ist wohl besser.
> Drück mir für gleich bitte die Daumen.
Klar, das mache ich schon den ganzen Tag!!! Bin schon ganz gespannt auf Deine nächste Mail.
Liebe Grüße
Brigitte
> P.S. Ich komme in das Europameisterschafts-Gewinnspiel nicht rein. Wenn ich mich anmelden möchte, stürzt die Seite immer ab.
Ist ja blöd. Sonst hat immer alles funktioniert. Probier's vielleicht heute abend noch mal.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Woher weißt Du das? Ich sitze da schon den ganzen Tag dran,
> aber linksseitig bekomme ich das alles nicht hin, weil ich
> immer auch eine linksseitige Definition der
> Übergangsintensitäten bräuchte. Oder ich übersehe etwas
> Grundlegendes...
>
> Ich verstehe auch nicht mehr den Beweis von Satz 1.5.
> Zunächst mal sind das ja wieder nur rechtsseitige
> Ableitungen. Zum anderen verstehe ich nicht, wieso
> [mm]\limes_{h\downarrow0}p_{jl}(t+h,s)=p_{jl}(t,s)[/mm]
> gilt. Dafür bräuchte ich ja die Stetigkeit von [mm] p_{jl} [/mm] in
> der ersten Komponente.
Okay, ich sehe die Probleme. Hmmmh...
Da müssen wir mal in Ruhe drüber reden demnächst, wenn ich vielleicht mal wieder nach Darmstadt fahre (oder du nach Bonn). Ich fürchte, das ist keine Sache für's Forum, dafür ist das Problem zu grundlegend.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Di 01.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
schöne Pfingsten gehabt? Ich ja, vor allem haben wir quasi den ganzen Sonntag am Genius-Quiz gesessen - war super
> > Ich verstehe auch nicht mehr den Beweis von Satz 1.5.
> > Zunächst mal sind das ja wieder nur rechtsseitige
> > Ableitungen. Zum anderen verstehe ich nicht, wieso
> > [mm]\limes_{h\downarrow0}p_{jl}(t+h,s)=p_{jl}(t,s)[/mm]
> > gilt. Dafür bräuchte ich ja die Stetigkeit von [mm] p_{jl} [/mm]
> in
> > der ersten Komponente.
Also ich habe noch mal drüber nachgedacht und bin nun zu folgendem Schluss gekommen:
Die rechts- (bzw. links-) seitige Stetigkeit von [mm] $p_{jl}$ [/mm] in der ersten bzw. zweiten Komponente erhält man aus der Darstellung
[mm]p_{jl}(t,s)=\int_t^s \mu_{jl}(\tau)\,d\tau.[/mm]
Begründung: Funktionen der unteren bzw. oberen Grenze eines Integrals sind rechts- (bzw. links-)seitig stetig. Also z.B.:
[mm]\lim_{h\downarrow 0} p_{jl}(t+h,s) = \lim_{h\downarrow 0} \int_{t+h}^s \mu_{jl}(\tau)\,d\tau = \int_t^s \mu_{jl}(\tau)\,d\tau=p_{jl}(t,s) .[/mm]
Dies liefert die rechtsseitige Stetigkeit von [mm] $p_{jl}$ [/mm] in der ersten Komponente, die für den Beweis der Rückwärts-DGL benötigt wird.
Ich denke sogar, dass es noch allgemeiner geht, also dass auch die linksseitige Stetigkeit in der ersten Komponente genauso funktioniert, nur habe ich da in Analysis-Büchern noch nichts entsprechendes gefunden. Die Begründung müsste doch aber eigentlich analog sein. Bisher habe ich nur gefunden:
[mm]\int_a^b f(\tau)\,d\tau=\lim\limits_{x\to a+0}\int_x^b f(\tau)\,d\tau
=\lim\limits_{x\to b-0}\int_a^x f(\tau)\,d\tau[/mm]
also nur die AUssage für ein bestimmtes Intervall $[a,b]$. Ich bin sicher, dass sich das verallgemeinern lässt. Suche nur noch einen entsprechenden Satz dazu (auf den ich dann vielleicht auch verweisen könnte).
Die Vorwärts-DGL stimmt gar nicht so, wie ich sie aufgeschrieben habe, weil man [mm] $\mu_l(s)$ [/mm] nicht so schön in die andere Summe einschleusen kann wie bei der Rückwärts-DGL. Macht aber nichts. Sind dann eben zwei Terme (wie im Koller). Für den Beweis braucht man entsprechende Überlegungen nicht anzustellen, dort läuft alles schön durch. Da ich die Vorwärts-DGL im weiteren Verlauf aber eh nicht mehr brauche, schreibe ich den Beweis nach wie vor nicht auf.
> Okay, ich sehe die Probleme. Hmmmh...
>
> Da müssen wir mal in Ruhe drüber reden demnächst, wenn ich
> vielleicht mal wieder nach Darmstadt fahre (oder du nach
> Bonn). Ich fürchte, das ist keine Sache für's Forum, dafür
> ist das Problem zu grundlegend.
Du planst schon ein neues Treffen? Sehr gerne Egal wo. Das bringt immer unglaublich viel. Ich versuche aber trotzdem, bis dahin noch einiges hier im Forum zu lösen. Ich hoffe, dass es doch nicht sooo grundlegend ist, als dass wir es nicht so hinbekommen könnten.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 Di 01.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Deine Stetigkeitsüberlegungen überzeugen mich. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
> schöne Pfingsten gehabt?
Auf jeden Fall, wir haben viel unternommen.
> Ich ja, vor allem haben wir quasi
> den ganzen Sonntag am Genius-Quiz gesessen - war super
>
Okay, ich habe es mir gerade mal angeschaut, d.h. jede Frage mal durchgelesen. Schick mir doch mal deine bisherigen Lösungen, damit ich weiß, über welche Aufgaben es sich lohnt noch nachzudenken.
Denn für alle Fragen habe ich mit Sicherheit keine Zeit.
Liebe Grüße
Stefan
P.S.
> Du planst schon ein neues Treffen? Sehr gerne Egal wo. Das bringt immer unglaublich viel. Ich
> versuche aber trotzdem, bis dahin noch einiges hier im Forum zu lösen. Ich hoffe, dass es doch
> nicht sooo grundlegend ist, als dass wir es nicht so hinbekommen könnten.
Okay, wir versuchen es erst einmal so. An ein Treffen kann ich eh erst nach unserem Urlaub im Juli/August denken, fürchte ich. Im Moment liegt mir wieder mal einiges quer im Magen, was meine Zukunft angeht. Das ist aber nichts fürs Forum, klar, sondern werde ich dir demnächst per Mail berichten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 01.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
> Also ich habe noch mal drüber nachgedacht und bin nun zu
> folgendem Schluss gekommen:
> Die rechts- (bzw. links-) seitige Stetigkeit von [mm] $p_{jl}$ [/mm]
> in der ersten bzw. zweiten Komponente erhält man aus der
> Darstellung
>
> [mm]p_{jl}(t,s)=\int_t^s \mu_{jl}(\tau)\,d\tau.[/mm]
Danke für Dein Lob, aber mittlerweile verstehe ich es selbst nicht mehr so richtig. Die oben erwähnte Darstellung ist zwar intuitiv klar, aber analytisch bekomme ich das einfach nicht hin. Nur weil ich weiß, dass gilt:
[mm] \mu_{jl}(t)=\lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}
\int_t^{t+h}\mu_{jl}(\tau)\,d\tau = \lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h} p_{jl}(t,t+h)[/mm]
folgt ja noch lange nicht
[mm]\int_t^{t+h}\mu_{jl}(\tau)\,d\tau = p_{jl}(t,t+h)[/mm]
Sorry, dass ich Dich immer noch damit nerve. Habe den Eindruck, dass Du gerade ganz andere Sachen zu tun hast. Aber wen soll ich sonst fragen?
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Di 01.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> > Also ich habe noch mal drüber nachgedacht und bin nun zu
>
> > folgendem Schluss gekommen:
> > Die rechts- (bzw. links-) seitige Stetigkeit von
> [mm] $p_{jl}$ [/mm]
> > in der ersten bzw. zweiten Komponente erhält man aus der
>
> > Darstellung
> >
> > [mm]p_{jl}(t,s)=\int_t^s \mu_{jl}(\tau)\,d\tau.[/mm]
>
> Danke für Dein Lob, aber mittlerweile verstehe ich es selbst nicht mehr so richtig. Die oben erwähnte Darstellung ist zwar intuitiv klar, aber analytisch bekomme ich das einfach nicht hin. Nur weil ich weiß, dass gilt:
>
> [mm]\mu_{jl}(t)=\lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h}
> \int_t^{t+h}\mu_{jl}(\tau)\,d\tau = \lim\limits_{h\downarrow 0}\frac{1}{h} p_{jl}(t,t+h)[/mm]
>
> folgt ja noch lange nicht
>
> [mm]\int_t^{t+h}\mu_{jl}(\tau)\,d\tau = p_{jl}(t,t+h)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, das stimmt, entschuldige bitte. Ich hatte die Gleichung als gegeben hingenommen und habe sie nicht mehr überprüft. Was ich nur überprüft hatte, war die Tatsache, dass aus dieser Gleichung die Stetigkeit folgt.
Ich habe mir jetzt aber etwas anderes überlegt:
Zu zeigen ist ja (in Matrixschreibweise):
$\lim\limits_{h \downarrow 0} P(t+h,s) = P(t,s)$.
Nun gilt aber nach Kolmogorov:
(*) $P(t,s) = P(t,t+h)P(t+h,s)$.
Andererseits folgt aus der Existenz der Übergangsintensitäten die Beziehung:
$\lim\limits_{h \downarrow 0} P(t,t+h) = 1$,
wobei $1$ die Einheitsmatrix sein soll.
Da die Determinantenabbildung $\det: Mat(n,\IR) \to \IR$ in der Einheitsmatrix stetig ist, gilt:
$\lim\limits_{h \downarrow 0} \det(P(t,t+h) )= \det (\lim\limits_{h \downarrow 0} P(t,t+h)) = \det(1)=1$,
d.h. es gibt ein $h_0>0$ mit
$\det(P(t,t+h))>0$ für alle $0 \le h \le h_0$.
Daraus folgt aus (*):
$P(t+h,s) = P(t,t+h)^{-1} \cdot P(t,s)$
und daraus die Behauptung, denn es gilt - da die Matrixinversion
$GL_n(\IR}) \to GL_n(\IR): A \mapsto A^{-1}$
stetig (sogar $C^{\infty}$) ist - :
$\lim\limits_{h \downarrow 0} P(t,t+h)^{-1} = (\lim\limits_{h \downarrow 0} P(t,t+h))^{-1} = 1^{-1} = 1$,
also die Behauptung.
Stimmst du damit überein?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
> Seite 17, Definition 1.26
>
> Hier ist mir die Bedingung so nicht mehr klar. Hatten wir
> das so gesagt?
>
> Meiner Ansicht muss da hin: "Durch die angegebenen
> technischen Bedingungen ist im Falle von auf $[0,T]$
> beschränkten Diffusionsprozessen der [mm] $S^{(i)}$ [/mm]
> gewährleistet,..."
Du meinst, dass hier noch was über die [mm] $S^{(i)}$ [/mm] gesagt werden sollte, da hast Du recht. Da ich Diffusionsprozesse nicht definiert habe, geht auch Ito-Prozess? Das ist nach meinem Verständnis zwar schärfer als Diffusionsprozess, aber später definieren wir die Prozesse ja genau so.
Der Zusatz "beschränkt" bezieht sich in Deinem Text nur auf das Intervall, oder soll der Prozess an sich beschränkt sein? Ich würde statt "beschränkt" lieber "definiert" schreiben.
Korrigiere mich, wenn ich da falsch liege.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Du meinst, dass hier noch was über die [mm] $S^{(i)}$ [/mm] gesagt
> werden sollte, da hast Du recht. Da ich Diffusionsprozesse
> nicht definiert habe, geht auch Ito-Prozess? Das ist nach
> meinem Verständnis zwar schärfer als Diffusionsprozess,
> aber später definieren wir die Prozesse ja genau so.
>
> Der Zusatz "beschränkt" bezieht sich in Deinem Text nur auf
> das Intervall, oder soll der Prozess an sich beschränkt
> sein? Ich würde statt "beschränkt" lieber "definiert"
> schreiben.
Sorry, ich habe mich undrücklich ausgedrückt. Ich meinte, dass die Funktion des Diffusionsterms, also der Term vor dem $dW$, beschränkt sein soll.
Ich schreibe nächste Woche mehr dazu.
Liebe Grüße, frohe Pfingsten und alles Gute
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
hm, dann habe ich leider nicht mehr alle Notizen auf meinen Schmierzetteln verstehen können. Sorry, dass Dir das noch mal Arbeit macht.
Also ich habe jetzt geschrieben:
Durch die angegebenen technischen Bedingungen ist im Falle von
Ito-Prozessen [mm] $S^{(i)}$ [/mm] mit auf $[0,T]$ beschränkten
Diffusionskoeffizienten gew"ahrleistet, dass die stochastischen Integralprozesse
[mm]\left(\int_{[0,T]}H_\tau^{(i)}\,dS_\tau^{(i)}\right)_{t\in[0,T]}\quad i=0,\ldots,g,[/mm]
definiert sind.
Ist Dir das so Recht?
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ja, so ist es jetzt richtig. Aber ist dir denn auch klar, warum? Sonst bringt es ja nichts.
Damit für
[mm] $dS_t^{(i)} [/mm] = [mm] \mu^{(i)}(t)\, [/mm] dt + [mm] \sigma^{(i)}(t)\, dW_t$
[/mm]
der Prozess
[mm] $\left(\int_{[0,\red{t}]} H_{\tau}^{(i)}dS_{\tau}^{(i)}\right)_{t \in [0,T]}$
[/mm]
(beachte bitte die Rotfärbung, dort ist noch ein Schreibfehler in deiner Diss)
existiert, muss fast sicher
[mm] $\int_{[0,T]} (H_{\tau}^{(i)})^2 d\langle S^{(i)} \rangle_{\tau}$
[/mm]
existieren, und es ist ja nun mal
[mm] $d\langle S^{(i)} \rangle_{\tau} [/mm] = [mm] [\sigma^{(i)}(\tau)]^2\, d\tau$.
[/mm]
D.h.
[mm] $\int_{[0,T]} (H_{\tau}^{(i)})^2 [\sigma^{(i)}(\tau)]^2\, d\tau$
[/mm]
existiert unter der gegebenen Voraussetzung
i.A. nur dann, wenn zugleich [mm] $\sigma^{(i)}$ [/mm] auf $[0,T]$ fast sicher beschränkt ist (insbesondere ist das natürlich erfüllt, wenn dieser Prozess dort fast sicher stetig ist).
Alles klar?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:15 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ja, alles klar. Danke auch für den Tippfehler!!!
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ich hatte dich das letztens auch schon per Mail gefragt, aber noch keine Antwort bekommen:
An welcher Stelle außer bei der Existenz der Stieltjes-Integrale brauchst du noch die linksseitige Stetigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten? Wenn man sie sonst nirgends braucht, dann würde ich mal versuchen die Existenz der Stieltjes-Integrale anders zu zeigen. Aber: Ohne Gewähr, ob ich es auch schaffe.
Liebe Grüße
Stefan
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Lieber Stefan,
ich wollte das erst noch checken. Aber mir ist keine weitere Stelle aufgefallen, bei der das Probleme bereiten könnte. Ich schreibe ja im weiteren Verlauf eigentlich nur noch über DGLen (von rechts). Was mir gerade noch einfällt, ist die Stelle, wo wir im Beweis von Lemma 2.6 mit den Sprungzeiten aurgumentieren. Aber da benötigt man ja keine Ü.wahrscheinlichkeiten.
Würde mich freuen, wenn Du die Existenz hinbekommst. Aber ich finde nicht, dass man es nicht auch so lassen kann (auch wenn es nicht 100% sauber ist).
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Do 17.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Doch, ich hatte diese Antwort schon gelesen. Sorry, habe ich nur wieder verdrängt. Ich hatte ja damals auch darauf geantwortet. Die Sache mit der quadratischen Variation muss ich ohnehin noch mal richtig nachlesen. Ich glaube das alles, was Du geschrieben hast, aber richtig verstehen tue ich es eben nicht. :-(
Beim ersten Durchlesen war ich wohl zu feige, das so zuzugeben. Tut mir leid.
> Damit für
> [mm]dS_t^{(i)} = \mu^{(i)}(t)\, dt + \sigma^{(i)}(t)\, dW_t[/mm]
> der Prozess
> [mm]\left(\int_{[0,\red{t}]} H_{\tau}^{(i)}dS_{\tau}^{(i)}\right)_{t \in [0,T]}[/mm]
> existiert, muss fast sicher
>
> [mm]\int_{[0,T]} (H_{\tau}^{(i)})^2 d\langle S^{(i)} \rangle_{\tau}[/mm]
>
> existieren, und es ist ja nun mal
>
> [mm]d\langle S^{(i)} \rangle_{\tau} = [\sigma^{(i)}(\tau)]^2\, d\tau[/mm].
>
> D.h.
>
> [mm]\int_{[0,T]} (H_{\tau}^{(i)})^2 [\sigma^{(i)}(\tau)]^2\, d\tau[/mm]
>
> existiert unter der gegebenen Voraussetzung
>
> i.A. nur dann, wenn zugleich [mm]\sigma^{(i)}[/mm] auf [mm][0,T][/mm] fast
> sicher beschränkt ist (insbesondere ist das natürlich
> erfüllt, wenn dieser Prozess dort fast sicher stetig
> ist).
Was meinst Du hier mit "dieser Prozess"? Den Prozess [mm] $S^{(i)}$? [/mm] Woher weiß man, dass dieser stetig ist? Eigentlich benötige ich doch dafür die Voraussetzungen, die man für die Existenz und Eindeutigkeit der SDE-Lösung fordert, also auch Bedingungen an [mm] $\mu^{(i)}$. [/mm] In Satz 5.2.1 im Öksendal folgt dann auch die Stetigkeit des Prozesses (bzgl. $t$). Jetzt haben wir den Fall [mm] $i=1,\ldots,g$ [/mm] erledigt.
Für $i=0$ ist die Lage aber etwas anders (evt. sogar einfacher). Dort gilt ja
[mm]dS^{(0)}_t = r_t S^{(0)}_t \,dt[/mm]
und damit muss ich nur begründen, wieso
[mm]\int_{[0,T]} H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}\,d\tau[/mm]
existiert. Hier benötige ich auch wieder die Stetigkeit der Prozesse $r$ und
[mm] $S^{(0)}$, [/mm] damit ich folgern kann
[mm]\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}|\,d\tau
\le sup\limits_{\tau\in[0,T]} |r_\tau S_{\tau}^{(0)}|\cdot\underbrace{\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}|\,d\tau}_{<\infty\mbox{ n.V.}} < \infty[/mm]
$P'$-f.s. Also gehört an diese Stelle auch eine Bemerkung zu den Eigenschaften des Drift- und Diff.koeffizienten in der SDE von $r$.
Also: mein Problem ist, dass ich die Stetigkeit der Prozesse brauche und ich nicht sehe, wieso das in der jetzigen Formulierung schon enthalten sein soll. Wenn das direkt zur Def. eines Ito-Prozesses gehört, einverstanden. Aber das erkenne ich zumindest an Def. 4.1.1 im Öksendal nicht.
Au weia, hoffentlich habe ich jetzt nicht wieder alles völlig falsch verstanden.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:13 Do 17.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> > existiert unter der gegebenen Voraussetzung
> >
> > i.A. nur dann, wenn zugleich [mm]\sigma^{(i)}[/mm] auf [mm][0,T][/mm] fast
>
> > sicher beschränkt ist (insbesondere ist das natürlich
> > erfüllt, wenn dieser Prozess dort fast sicher stetig
> > ist).
>
> Was meinst Du hier mit "dieser Prozess"? Den Prozess
> [mm]S^{(i)}[/mm]?
Nein, ich meinte [mm] $\sigma^{(i)}$. [/mm] (Eventuell steckt da natürlich [mm] $S^{(i)}$ [/mm] mit drin.) (Und das Gleiche könnte/müsste man auch für [mm] $\mu^{(i)}$ [/mm] machen, um die Existenz der nicht-stochastischen Integrale zu sichern.)
> Woher weiß man, dass dieser stetig ist?
Ich meinte ja, nicht, dass man schließen kann, dass [mm] $\sigma^{(i)}$ [/mm] stetig ist, sondern dass man fordern soll, dass [mm] $\sigma^{(i)}$ [/mm] beschränkt ist (und dass diese Forderung insbesondere dann erfüllt ist, wenn [mm] $\sigma^{(i)}$ [/mm] stetig ist).
Also ich wollte einfach zu den beiden Integrationsforderungen, die du genannt hast, eine weitere hinzunehmen, nämlich die, dass alle Diffusions- und Driftterme auf $[0,T]$ beschränkt sind.
Aber natürlich spricht nichts dagegen, durch Annahmen an die Koeffizienten dafür zu sorgen, dass diese Forderungen alle erfüllt sind.
> Eigentlich
> benötige ich doch dafür die Voraussetzungen, die man für
> die Existenz und Eindeutigkeit der SDE-Lösung fordert, also
> auch Bedingungen an [mm]\mu^{(i)}[/mm]. In Satz 5.2.1 im Öksendal
> folgt dann auch die Stetigkeit des Prozesses (bzgl. [mm]t[/mm]).
> Jetzt haben wir den Fall [mm]i=1,\ldots,g[/mm] erledigt.
Also, wie gesagt: Durch meine Forderung ist alles erschlagen, aber es ist eine mathematisch-theoretische Forderung. (Wie überprüfe ich denn dann im Einzelnen, ob der mitunter sehr schwierige Diffusionsterm, wo auch noch [mm] $S^{(i)}$ [/mm] vorkommt, tatsächlich beschränkt ist?) Insofern ist der Ansatz über die Koeffizienten (als deterministische Funktionen, nicht in Abhängigkeit von [mm] $S^{(i)}$), [/mm] sicherlich sinnvoll. Denn das ist in der Regel mehr oder weniger leicht überprüfbar.
> Für [mm]i=0[/mm] ist die Lage aber etwas anders (evt. sogar
> einfacher). Dort gilt ja
>
> [mm]dS^{(0)}_t = r_t S^{(0)}_t \,dt[/mm]
> und damit muss ich nur begründen, wieso
> [mm]\int_{[0,T]} H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}\,d\tau[/mm]
> existiert. Hier benötige ich auch wieder die Stetigkeit der Prozesse [mm]r[/mm] und
> [mm]S^{(0)}[/mm], damit ich folgern kann
> [mm]\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}|\,d\tau
\le sup\limits_{\tau\in[0,T]} |r_\tau S_{\tau}^{(0)}|\cdot\underbrace{\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}|\,d\tau}_{<\infty\mbox> { n.V.}} < \infty[/mm]
> [mm]P'[/mm]-f.s. Also gehört an diese Stelle auch eine Bemerkung zu den Eigenschaften des Drift- und Diff.koeffizienten in
> der SDE von [mm]r[/mm].
Ja, das ist schöner so. Es wäre zwar durch meine theoretische Forderung der Beschränktheit der Drift- und Diffusionskoeffizienten erschlagen (denn dann würde man ja automatisch mitfordern, dass auch $r$ beschränkt ist), aber gleiches Problem: Wir überprüfe ich das dann?
> Also: mein Problem ist, dass ich die Stetigkeit der Prozesse brauche
Ja, halt nicht unbedingt. Die Beschänktheit reicht ja.
> und ich nicht sehe, wieso das in der jetzigen Formulierung schon enthalten sein soll. Wenn das direkt zur Def. eines Ito-
> Prozesses gehört, einverstanden. Aber das erkenne ich zumindest an Def. 4.1.1 im Öksendal nicht.
Definierst du denn die [mm] $S^{(i)}$ [/mm] jetzt als Ito-Prozesse? Das hast du in der Version, die ich vorliegen habe, noch nicht gemacht, dort sind es nur stochastische Prozesse, glaube ich jedenfalls. Das solltest du dann gegebenenfalls ändern.
Mach das mal mit den Forderungen an die Koeffizienten, das hatten wir uns ja hier in Bonn auch schon überlegt, das so zu machen, wenn ich mich recht erinnere. Es ist sicherlich schöner so, als abstrakt zu fordern, dass alles beschränkt ist.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Nein, ich meinte [mm]\sigma^{(i)}[/mm]. (Eventuell steckt da
> natürlich [mm]S^{(i)}[/mm] mit drin.) (Und das Gleiche könnte/müsste
> man auch für [mm]\mu^{(i)}[/mm] machen, um die Existenz der
> nicht-stochastischen Integrale zu sichern.)
> Ich meinte ja, nicht, dass man schließen kann, dass
> [mm]\sigma^{(i)}[/mm] stetig ist, sondern dass man fordern soll,
> dass [mm]\sigma^{(i)}[/mm] beschränkt ist (und dass diese Forderung
> insbesondere dann erfüllt ist, wenn [mm]\sigma^{(i)}[/mm] stetig
> ist).
>
> Also ich wollte einfach zu den beiden
> Integrationsforderungen, die du genannt hast, eine weitere
> hinzunehmen, nämlich die, dass alle Diffusions- und
> Driftterme auf [mm][0,T][/mm] beschränkt sind.
OK, aber in Deiner ersten Antwort hattest Du nur die Diffusionsterme erwähnt, oder? Wenn man es auch für die Driftterme fordert, ist man ja fast bei den Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit eines Ito-Prozesses. Aber das ist eigentlich zu viel, wenn es nur darum geht zu begründen, warum die betrachteten Integralprozesse (für die selbstfin. Handelsstrategie) definiert sind. Ich denke, ich mache es an dieser Stelle wirklich so, wie Du es vorgeschlagen hast, denn die konkreten Ansätze für die Prozesse kommen ja erst später. Dort kann ich dann in einer Bemerkung darauf eingehen, warum die Koeffizienten alle beschränkt sind im konkret gewählten Finanzmarktmodell. Bist Du damit einverstanden oder reden wir aneinander vorbei?
> Aber natürlich spricht nichts dagegen, durch Annahmen an
> die Koeffizienten dafür zu sorgen, dass diese Forderungen
> alle erfüllt sind.
>
> > Eigentlich
> > benötige ich doch dafür die Voraussetzungen, die man für
>
> > die Existenz und Eindeutigkeit der SDE-Lösung fordert,
> also
> > auch Bedingungen an [mm]\mu^{(i)}[/mm]. In Satz 5.2.1 im Öksendal
>
> > folgt dann auch die Stetigkeit des Prozesses (bzgl. [mm]t[/mm]).
>
> > Jetzt haben wir den Fall [mm]i=1,\ldots,g[/mm] erledigt.
>
> Also, wie gesagt: Durch meine Forderung ist alles
> erschlagen, aber es ist eine mathematisch-theoretische
> Forderung. (Wie überprüfe ich denn dann im Einzelnen, ob
> der mitunter sehr schwierige Diffusionsterm, wo auch noch
> [mm]S^{(i)}[/mm] vorkommt, tatsächlich beschränkt ist?) Insofern ist
> der Ansatz über die Koeffizienten (als deterministische
> Funktionen, nicht in Abhängigkeit von [mm]S^{(i)}[/mm]), sicherlich
> sinnvoll. Denn das ist in der Regel mehr oder weniger
> leicht überprüfbar.
Mir geht es aber ja eigentlich nur um das eine Finanzmarktmodell. Und da ist ja dann alles so gewählt, dass die Prozesse stetig sind und daher alle Koeffizienten beschränkt sind.
> > Für [mm]i=0[/mm] ist die Lage aber etwas anders (evt. sogar
> > einfacher). Dort gilt ja
> >
> > [mm]dS^{(0)}_t = r_t S^{(0)}_t \,dt[/mm]
> und damit muss ich nur begründen, wieso
> [mm]\int_{[0,T]} H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}\,d\tau[/mm]
> existiert. Hier benötige ich auch wieder die Stetigkeit der Prozesse [mm]r[/mm] und
> [mm]S^{(0)}[/mm], damit ich folgern kann
> [mm]\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}r_{\tau}S_{\tau}^{(0)}|\,d\tau
> \le sup\limits_{\tau\in[0,T]} |r_\tau S_{\tau}^{(0)}|\cdot\underbrace{\int_{[0,T]} |H_{\tau}^{(0)}|\,d\tau}_{<\infty\mbox> { n.V.}} < \infty[/mm]
> [mm]P'[/mm]-f.s. Also gehört an diese Stelle auch eine Bemerkung zu den Eigenschaften des Drift- und Diff.koeffizienten in
> der SDE von [mm]r[/mm].
Ja, das ist schöner so. Es wäre zwar durch meine theoretische Forderung der Beschränktheit der Drift- und Diffusionskoeffizienten erschlagen (denn dann würde man ja automatisch mitfordern, dass auch [mm]r[/mm] beschränkt ist), aber gleiches Problem: Wir überprüfe ich das dann?
> Also: mein Problem ist, dass ich die Stetigkeit der Prozesse brauche
Ja, halt nicht unbedingt. Die Beschänktheit reicht ja.
> und ich nicht sehe, wieso das in der jetzigen Formulierung schon enthalten sein soll. Wenn das direkt zur Def. eines Ito-
> Prozesses gehört, einverstanden. Aber das erkenne ich zumindest an Def. 4.1.1 im Öksendal nicht.
>Definierst du denn die [mm]S^{(i)}[/mm] jetzt als Ito-Prozesse? Das hast du in der Version, die ich vorliegen habe, noch nicht gemacht, dort sind es nur stochastische Prozesse, glaube ich jedenfalls. Das solltest du dann gegebenenfalls ändern.
In meinem zweiten Versuch der Formulierung hier im Forum habe ich Ito-Prozesse geschrieben, ja.
> Mach das mal mit den Forderungen an die Koeffizienten, das hatten wir uns ja hier in Bonn auch schon überlegt, das so zu machen, wenn ich mich recht erinnere. Es ist sicherlich schöner so, als abstrakt zu fordern, dass alles beschränkt ist.
Wie gesagt, das Problem ist, dass ich an dieser Stelle ja noch gar nichts zu $S$ oder $r$ sage. Und eigentlich wollte ich hier noch nicht mit SDE's ankommen. So wie Du es vorgeschlagen hast, finde ich es sprachlich besser. Solange ich später noch mal darauf eingehe, verschweige ich ja auch nichts.
Liebe Grüße
Brigitte
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:58 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> > Also ich wollte einfach zu den beiden
> > Integrationsforderungen, die du genannt hast, eine
> weitere
> > hinzunehmen, nämlich die, dass alle Diffusions- und
> > Driftterme auf [mm][0,T][/mm] beschränkt sind.
>
> OK, aber in Deiner ersten Antwort hattest Du nur die
> Diffusionsterme erwähnt, oder?
Ja, richtig, weil es mir da nur um die Existenz der stochastischen Integrale ging. Das Gleiche müsste man dann noch für die normalen Integrale machen, also auf für die Driftterme.
> Wenn man es auch für die
> Driftterme fordert, ist man ja fast bei den Bedingungen für
> die Existenz und Eindeutigkeit eines Ito-Prozesses.
Ich glaube an der Stelle reden wir völlig aneinander vorbei. Bei den Bedingungen für die Existenz und Eindeutigkeit eines Ito-Prozesses sind es ja Bedingungen an die deterministischen Koeffizienten [mm] $\mu(t,x)$ [/mm] und [mm] $\sigma(t,x)$. [/mm] Wenn die gewissen Beschränktheits- und Lipschitzbedingungen genügen, dann existieren die Ito-Prozesse und sind eindeutig bestimmt. Das meinte ich aber gar nicht. Meine Forderung ist wesentlich "unschöner", erschlägt dafür aber alles, quasi per definitonem.
Ich sage (jetzt vielleicht deutlicher als beim ersten Mal): Wenn
[mm] $dS^{(i)}(t) [/mm] = [mm] \mu^{(i)}(t,S^{(i)}(t,\omega)) [/mm] dt + [mm] \sigma^{(i)}(t,S^{(i)}(t,\omega))\, dW^{(i)}(t,\omega)$
[/mm]
gilt, dann fordere ich, dass die (stochastischen!) Drift- und Diffusionsterme
[mm] $\mu^{(i)}(t,S^{(i)}(t,\omega))$
[/mm]
und
[mm] $\sigma^{(i)}(t,S^{(i)}(t,\omega))$
[/mm]
für fast alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] beschränkt auf $[0,T]$ sein sollen.
Das hat ja dann nichts direkt mit den Forderungen an die Koeffizienten bei der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen zu tun (denn dort geht es ja um die deterministischen Funktionen [mm] $\mu^{(i)}(t,x)$ [/mm] und [mm] $\sigma^{(i)}(t,x))$ [/mm] , sondern ist die einfachste (und zugleich am wenigsten leicht überprüfbare) Möglichkeit, neben den von dir genannten Forderungen die Existenz der beiden Integrale zu sichern.
>Aber
> das ist eigentlich zu viel, wenn es nur darum geht zu
> begründen, warum die betrachteten Integralprozesse (für die
> selbstfin. Handelsstrategie) definiert sind. Ich denke, ich
> mache es an dieser Stelle wirklich so, wie Du es
> vorgeschlagen hast, denn die konkreten Ansätze für die
> Prozesse kommen ja erst später. Dort kann ich dann in einer
> Bemerkung darauf eingehen, warum die Koeffizienten alle
> beschränkt sind im konkret gewählten Finanzmarktmodell.
> Bist Du damit einverstanden oder reden wir aneinander
> vorbei?
Wir reden aneinander vorbei. Ich hoffe aber, dass ich jetzt oben deutlicher machen konnte, was ich eigentlich meinte. Ich hatte es vorher schlampig aufgeschrieben, so dass ich dich sicherlich verwirrt habe, insbesondere weil man sich unter "Koeffizienten" ja auch tatsächlich eher die deterministischen Funktionen vorstellt.
> Mir geht es aber ja eigentlich nur um das eine
> Finanzmarktmodell. Und da ist ja dann alles so gewählt,
> dass die Prozesse stetig sind und daher alle Koeffizienten
> beschränkt sind.
Okay. Dort ist alles auf dem Kompaktum $[0,T]$ beschränkt. Insofern kann man es dann wohl so (unschön) machen, wie oben beschrieben.
> In meinem zweiten Versuch der Formulierung hier im Forum habe ich Ito-Prozesse geschrieben, ja.
Okay, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , hatte ich nicht mehr in Erinnerung...
Kannst du mir denn mal eine verbesserte Version deiner Diss schicken, ich habe hier nur die alte Version, wo ich mir viele Notizen gemacht habe und den Überblick verliere. Danke!
> Wie gesagt, das Problem ist, dass ich an dieser Stelle ja noch gar nichts zu [mm]S[/mm] oder [mm]r[/mm] sage. Und
> eigentlich wollte ich hier noch nicht mit SDE's ankommen. So wie Du es vorgeschlagen hast, finde ich es sprachlich besser.
> Solange ich später noch mal darauf eingehe, verschweige ich ja auch nichts.
Gut, wenn du die SDE's vermeiden willst, musst du das, was ich oben formelmäßig hingeschrieben habe, sprachlich formuieren. Nur: Wie schafft man es dann es so zu formulieren, dass klar wird, was man genau meint?
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
> Ja, richtig, weil es mir da nur um die Existenz der
> stochastischen Integrale ging. Das Gleiche müsste man dann
> noch für die normalen Integrale machen, also auf für die
> Driftterme.
Gut. Das habe ich verstanden - und das hatte mich evt. auch etwas verwirrt.
> > Wenn man es auch für die
> > Driftterme fordert, ist man ja fast bei den Bedingungen
> für
> > die Existenz und Eindeutigkeit eines Ito-Prozesses.
>
> Ich glaube an der Stelle reden wir völlig aneinander
> vorbei. Bei den Bedingungen für die Existenz und
> Eindeutigkeit eines Ito-Prozesses sind es ja Bedingungen an
> die deterministischen Koeffizienten [mm]\mu(t,x)[/mm] und
> [mm]\sigma(t,x)[/mm]. Wenn die gewissen Beschränktheits- und
> Lipschitzbedingungen genügen, dann existieren die
> Ito-Prozesse und sind eindeutig bestimmt. Das meinte ich
> aber gar nicht. Meine Forderung ist wesentlich "unschöner",
> erschlägt dafür aber alles, quasi per definitonem.
Ich denke, wir reden da gar nicht so weit aneinander vorbei. Das das Prozesse sind, habe ich verstanden. Ich meinte, dass man für den Fall, dass die Beschränktheits- und Lipschitzbedingungen erfüllt sind, insbesondere weiß, dass die Prozesse stetig sind (und damit beschränkt) und dass unter erneuter Verwendung der Beschränktheitsbedingung insgesamt auch die
von Dir betrachteten Drift- und Diffusionsprozesse beschränkt sind. So stimmt es doch, oder?
> Okay. Dort ist alles auf dem Kompaktum [mm][0,T][/mm] beschränkt.
> Insofern kann man es dann wohl so (unschön) machen, wie
> oben beschrieben.
Wie gesagt...
> Kannst du mir denn mal eine verbesserte Version deiner Diss
> schicken, ich habe hier nur die alte Version, wo ich mir
> viele Notizen gemacht habe und den Überblick verliere.
> Danke!
Werde ich machen, sobald ich alles eingebaut habe. Sonst bekommst Du in zwei Tagen die nächste Version und drei Tage später wieder eine.
> Gut, wenn du die SDE's vermeiden willst, musst du das, was
> ich oben formelmäßig hingeschrieben habe, sprachlich
> formuieren. Nur: Wie schafft man es dann es so zu
> formulieren, dass klar wird, was man genau meint?
Das geht schon
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Gut. Das habe ich verstanden - und das hatte mich evt. auch
> etwas verwirrt.
Tut mir leid. Kann ich mir aber gut vorstellen, meine Darstellung war auch extrem chaotisch und schlecht. Ich hätte es direkt so aufschreiben sollen wie im letzten Beitrag, dann hätte es keine Missverständnisse gegeben.
Beim nächsten Mal:
![[spam1]](/images/smileys/spam1.gif "[spam1]")
> Ich denke, wir reden da gar nicht so weit aneinander
> vorbei. Das das Prozesse sind, habe ich verstanden. Ich
> meinte, dass man für den Fall, dass die Beschränktheits-
> und Lipschitzbedingungen erfüllt sind, insbesondere weiß,
> dass die Prozesse stetig sind (und damit beschränkt) und
> dass unter erneuter Verwendung der Beschränktheitsbedingung
> insgesamt auch die
> von Dir betrachteten Drift- und Diffusionsprozesse
> beschränkt sind. So stimmt es doch, oder?
Das stimmt so alles, ja. Ich wusste auch, dass du das meintest, wollte aber darauf aufmerksam machen, dass das nicht genau das war, was ich meinte. Allerdings folgt meine Forderung aus deiner Forderung an die Koeffizienten, wie du es gerade richtig geschrieben hast. Aber meine Forderung ist so von der Güte: "Wir fordern mal, dass die Integral existieren. Also existieren sie." Weißt du, dann könnte man auch direkt schreiben: "Wir nehmen an, dass alle auftretenden Integrale existieren." Bei deiner Forderung gefällt mir, dass sie nachvollziehbar ist und dass man dann einen Satz zitieren kann, aus dem die Existenz der Integrale folgt.
> Werde ich machen, sobald ich alles eingebaut habe. Sonst
> bekommst Du in zwei Tagen die nächste Version und drei Tage
> später wieder eine.
Ja, das wäre gut. Ich schmeiße die alte nämlich jetzt gleich weg: Total viele Notizen, Kaffeeflecken, mit Schuhen drübergelaufen, das ist ekelhaft. (Das ist keine fehlende Wertschätzung gegenüber deiner hervorragenden Diss. Wie du weißt, gehe ich mit allen Sachen so um. Mein Schreibtisch gleicht einer Müllhalde. ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]") )
> Das geht schon
Ja, dir traue ich das zu. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]") Mir würde es schwerfallen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 02.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan,
> Zu Seite 10, Bemerkung 1.14:
>
> Frage: Warum ist [mm] $A_l$ [/mm] an den Unstetigkeitsstellen von
> [mm] $I_l$ [/mm] für fast alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] stetig? Anschaulich
> ist mir das klar, aber kann man das vielleicht exakter
> begründen? Dies hat man mit der Existenz der
> Übergangswahrscheinlichkeiten zu tun, oder? Daher ist
> [mm] $I_{t_0}:=\{\omega: t \mapsto X_t(\omega)\ \mbox{ist
> unstetig in}\ t_0\}$ [/mm] für alle [mm] $t_0$ [/mm] eine Nullmenge,
> richtig?
Mit den neuen Erkenntnissen wollte ich mich dann gleich mal dieser Fragestellung widmen. Am Telefon hattest Du ja bereits argumentiert, dass das an der Beziehung
[mm]P(X_{t_0+h}=k|X_{t_0}=j) = P_{jk}(t_0,t_0+h)\rightarrow
p_{jk}(t_0,t_0)=0,\qquad h\to 0[/mm]
für [mm] $j\neq [/mm] k$ liegt, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Sprung von $j$ nach $k$ im Intervall [mm] $[t_0,t_0+h]$ [/mm] gegen 0 konvergiert, wenn man $h$ gegen 0 laufen lässt (wobei [mm] $t_0$ [/mm] beliebig).
Ich frage mich aber, ob man nicht eher die Wahrscheinlichkeit
[mm] P(X_{t_0}=k|X_{t_0-h}=j) = p_{jk} (t_0-h,t_0)[/mm]
betrachten sollte. Denn die Sprünge sind ja definiert über [mm] $X_{t-} [/mm] = j$ und
[mm] $X_t=k$, [/mm] damit die Sprungprozesse rechtsseitig stetig sind. Für obige Wahrscheinlichkeit bräuchte man aber wieder Aussagen über die linksseitige Stetigkeit, die wir nicht haben...
Hast Du dazu noch eine Idee? Oder langt an dieser Stelle das erste Argument, weil es egal ist, ob ich den Sprung rechts- oder linksseitig betrachte. Es geht ja nur darum, dass überhaupt ein Sprung stattfindet.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Zunächst einmal muss ich zugeben, dass ich das Problem so übersehen habe.
Ja, mein Argument reicht definitiv nicht aus.
Im Moment habe ich keine Ahnung, wie man das retten kann. Ich denke aber weiter darüber nach, klar.
Liebe Grüße
Stefan
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