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Hallo!
Ich lerne gerade und bin dabei auf die ![[]](/images/popup.gif) Dirac'sche Deltafunktion gestoßen. Die "Funktion" an sich ist mir klar, ich weiß nur nicht so ganz, was ich mir nun unter dem Amplitudenspektrum dieser Funktion vorzustellen habe. Wir haben da [mm] |A(\omega)| [/mm] als Parallele zur x-Achse aufgezeichnet, das würde ja bedeuten, dass alle Frequenzen vorkommen und alle die gleiche Amplitude haben, oder?
Und wieso ist das so? Kann man sich das irgendwie vorstellen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 04.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Bastiane
Ob man es sich vorstellen kann ist immer so eine Frage.
Tatsache ist doch, dass die Fouriertransformierte der Delta-Distribution die Konstant ist. Man kann die Fouriertransformierte als eine Art Fourierreihe vorstellen, die aber alle Frequenzen entält und nicht nur Schwingungen und Oberschwingungen von Sinus- und Cosinusfunktionen enthält, so eine Art kontinuierliche Verallgemeinerung der Fourierzerlegung.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 06.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Bastiane
Ja das ist nichts anderes als die Fouriertransformation.
Ist f(t) eine Funktion mit hinreichend guten Integrationsbedingungen, so ist
[mm] $\hat f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$ [/mm] die Fouriertransformierte der Funktion f, und das Integral heisst Fourierintegral.
Wegen [mm] $e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega [/mm] t)$ kann man auch aufteilen
[mm] $\hat f(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega t)dt -i\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega t)dt\right)$ [/mm] und analog für die Rücktransformation.
Wenn die Funktion gerade ist, d.h. der Graph symmetrisch bez. der y-Achse ist das Integral [mm] $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\sin(\omega [/mm] t)dt=0$
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:24 Mi 07.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bstiane
Das f(t), das im Integral steht ist die ampltudenfunktion, und die ist hier konstant.
Physikalisch ausgedrueckt: in einer deltafkt sind ALLE frequenzen mit gleicher Ampltude enthalten.
Je schmaler ein peak ist, desto breiter die frequenzverteilung, und die delta fkt ist der GW solcher imer schmaleren peaks.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Bastiane,
da Du Mathematik studierst (oder?), wäre es sinnvoll, Du würdest Dir mal temperierte Distributionen anzuschauen. Dann geht die Anschauung zwar baden, aber man formal kann man mit den Dingern ganz leicht rechnen. Die Behauptung
[mm] \hat{\delta}_0=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
[/mm]
wird in dieser Theorie ganz einfach, denn für jede Schwartzfunktion [mm] \varphi [/mm] gilt
[mm] <\hat{\delta}_0,\varphi>:=<\delta_0,\hat{\varphi}>=\hat{\varphi}(0)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_\IR \varphi(x)dx= \int_\IR \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \varphi(x)dx =<\frac{1}{\sqrt{2\pi}},\varphi>
[/mm]
wenn Du die konstanten Funktionen mit den entsprechenden temperierten Distributionen mittels des Integrals identifizierst. Da eine temp. Distr. durch obige Rechnung wohldefiniert ist, folgt die Behauptung. Insbesondere sind alle auftretenden Integrale ganz zahm, denn [mm] \varphi [/mm] fällt ja schneller als z.Bsp [mm] (1+x^2)^{-2007}.
[/mm]
Volker
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo zusammen!
Also ich versuche, mein Problem nochmal anders auszudrücken. So wie ich das jetzt verstehe, ist
$ [mm] \delta(t)=\br{2}{\pi}\integral_0^{\infty}\cos(\omega t)\:d\omega [/mm] $
die Fouriertransformierte der Deltafunktion, und das soll konstant sein. Aber warum???
Bitte erklärt es mir für Doofe, ich habe schon so viel über all das gelesen und es verwirrt mich nur immer mehr und mehr.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Bastiane,
> Also ich versuche, mein Problem nochmal anders
> auszudrücken. So wie ich das jetzt verstehe, ist
> [mm]\delta(t)=\br{2}{\pi}\integral_0^{\infty}\cos(\omega t)\:d\omega[/mm]
>
> die Fouriertransformierte der Deltafunktion, und das soll
> konstant sein. Aber warum???
Gute Frage, also wenn man das integriert, bekommt man doch:
[mm]\int_0^{\infty}{\cos(\omega t)\,\operatorname{d}\!\omega} = \left.\frac{\sin(\omega t)}{t}\right|_0^{\infty} = \frac{1}{t}\underbrace{\lim_{\omega\to\infty}{\sin(\omega t)}}_{=:C}[/mm].
Und warum nun [mm]C[/mm] konstant sein soll, weiß ich auch nicht. Ob das irgendwie an dem [mm]t[/mm] liegt? Hat es irgendwelche bemerkenswerten Eigenschaften?
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo Christiane,
$ [mm] \delta(t)=\br{2}{\pi}\integral_0^{\infty}\cos(\omega t)\:d\omega =\br{1}{\pi}\integral_\IR e^{i\omega t}\:d\omega$ [/mm]
soll doch bedeuten, dass [mm] $\delta$ [/mm] (und NICHT die Fouriertransformierte der Delta-Funktion) durch das "oszillierende Integral" auf der rechten Seite dargestellt werden kann. Zum Beweis ist zunächst das Integral als temp. Distr. zu verstehen. Dann sollte es einfach die Fourierinversionsformel für eine Schwartzfunktion sein.
Volker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mo 12.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
Noch ein Versuch.
Im Gegensatz zu Fourrierintegralen sind Fourrierreihen noch recht anschaulich:
Man stellt eine gerade periodische Fkt. f(t) dar, als
[mm] f(t)=\summe_{i=1}^{\infty} A_icos(iw_0*t).
[/mm]
Dabei ist klar, dass die [mm] A_i [/mm] die Amplituden zu den Frequenzen iw sind.
Bei nicht per. Fkt, kann man jetzt nicht ueber abzaehlbar viele cos summieren, "anschaulich" geht die Summe über in ein Integral, und ich hab nicht mehr einzelne Amlituden, sondern ne Amplitudenfunktion A(w)
und schreibe jetzt: [mm] f(t)=\integral_{0}^{\infty}{A(w)cos(wt) dw }
[/mm]
Dabei gibt natürlich A(w) die Amplitude zur jeweiligen Frequenz an.
A(w) heisst dann die Fourriertransformierte von f
(mathematiker finden die Darstellung sicher nicht so schoen, weil man nicht einfach ohne weiteres so von Summe zu integral übergehen kann, aber es ist ja kein Beweis, sondern ne Anschauungshilfe.(Normierungsfaktoren hab ich auch deshalb weggelassen.)
Wenn du jetzt deine Darstellung der [mm] \delta [/mm] fkt. ansiehst, ist A(w)=1
Die noetigen Normierungsfaktoren machen a dann <1
Ich hoff, das hilft der "anschauung"
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 12.02.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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