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| Aufgabe | Lösen Sie die DGL für den ungedämpften linearen Oszillator (für einen Körper mit masse m=1) [mm] x''+\omega^2*x=F(t) [/mm]
mit [mm] F(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0T \end{cases} [/mm] mit den Anfangsbedingungen x(0)=x'(0)=0
Zeigen Sie, dass für t>T die Oszillationsamplitude gegeben ist durch [mm] \bruch{2}{\omega^2}*\left|sin\left(\bruch{\omega*T}{2}\right)\right| [/mm] |
Hallo,
die vorgehensweise ist mir klar, ich habe die DGL gelöst, für den Fall 0<t<T bekomme ich die allgemeine Lösung
[mm] x(t)=\bruch{1}{\omega^2}*(1-cos(\omega*t))
[/mm]
für t>T
[mm] x(t)=A*cos(\omega*t)+B*sin(\omega*t)
[/mm]
Meine Frage ist jetzt folgende:
Um das Ergebnis zu bekommen, brauche ich Stetigkeit bei x(t) und x'(t) an der Stelle T . Mein Professor hat für die zweite Gleichung die Lösung angegeben [mm] x(t)=A*cos(\omega*(t-T))+B*sin(\omega(t-T)) [/mm] damit ist das Lösen des Stetigkeitsproblems an der Stelle T ziemlich einfach, weil die Sinusfunktionen so alle wegfallen. Aber wie kann er das machen ? Wieso kann er dort t-T einsetzen, ich wäre da im Leben nicht drauf gekommen und habe immer wieder versucht das ganze zu lösen eben ohne (t-T) sondern einfach nur T. Theoretisch müsste ich doch diesselbe Lösung bekommen, oder ?
Tu ich aber nicht. Wäre schon, wenn mir das jemand erklären könnte.
Frohe Rest-Ostern.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Mo 05.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie die DGL für den ungedämpften linearen
> Oszillator (für einen Körper mit masse m=1)
> [mm]x''+\omega^2*x=F(t)[/mm]
> mit [mm]F(t)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } 0T \end{cases}[/mm]
> mit den Anfangsbedingungen x(0)=x'(0)=0
>
> Zeigen Sie, dass für t>T die Oszillationsamplitude gegeben
> ist durch
> [mm]\bruch{2}{\omega^2}*\left|sin\left(\bruch{\omega*T}{2}\right)\right|[/mm]
> Hallo,
>
> die vorgehensweise ist mir klar, ich habe die DGL gelöst,
> für den Fall 0<t<T bekomme ich die allgemeine Lösung
>
> [mm]x(t)=\bruch{1}{\omega^2}*(1-cos(\omega*t))[/mm]
>
> für t>T
>
> [mm]x(t)=A*cos(\omega*t)+B*sin(\omega*t)[/mm]
>
> Meine Frage ist jetzt folgende:
>
> Um das Ergebnis zu bekommen, brauche ich Stetigkeit bei
> x(t) und x'(t) an der Stelle T . Mein Professor hat für
> die zweite Gleichung die Lösung angegeben
> [mm]x(t)=A*cos(\omega*(t-T))+B*sin(\omega(t-T))[/mm] damit ist das
> Lösen des Stetigkeitsproblems an der Stelle T ziemlich
> einfach, weil die Sinusfunktionen so alle wegfallen. Aber
> wie kann er das machen ? Wieso kann er dort t-T einsetzen,
Rechnerisch: Wende die Additionstheoreme auf [mm] $x(t)=A*\cos(\omega*(t-T))+B*\sin(\omega(t-T))$ [/mm] an, und du siehst, dass das nur eine Umdefinition der Konstanten A und B ist.
Anschaulich: das Verhältnis von A und B bestimmt (zusammen mit den Vorzeichen) die Phasenverschiebung gegenüber einer reinen Sinusfunktion. Daher kannst du auch eine beliebig verschobene Sinusfunktion nehmen.
> ich wäre da im Leben nicht drauf gekommen und habe immer
> wieder versucht das ganze zu lösen eben ohne (t-T)
> sondern einfach nur T. Theoretisch müsste ich doch
> diesselbe Lösung bekommen, oder ?
Ja.
> Tu ich aber nicht. Wäre schon, wenn mir das jemand
> erklären könnte.
Wenn du deine Rechnung postest, können wir dir auch sagen, warum.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo rainer,
danke für deine schnelle antwort. Nochmal eine kurze Nachfrage, bevor ich an die Rechnung gehe:
Wieso genau brauche ich eigentlich Stetigkeit an der Stelle T um einen Ausdruck für die Amplitude für t>T zu finden ?
Also mein Ansatz ist der folgende:
Lösung für 0<t<T:
[mm] x_{0
[mm] x'_{0
für t>T
[mm] x_{t>T}(t)=A*cos(\omega*t)+B*sin(\omega*t)
[/mm]
[mm] x'_{t>T}(t)=-A*\omega*sin(\omega*t)+B*\omega*cos(\omega*t)
[/mm]
(I) [mm] x_{0T}(T) [/mm] und (II) $ x'_{t>T}(T)=x'_{0<t<T}(T) $
(I) [mm] \bruch{1}{\omega^2}*(1-cos(\omgea*T))=A*cos(\omega*T)+B*sin(\omega*T)
[/mm]
(II) [mm] \bruch{1}{\omega}*(sin(\omega*T))=-A*\omega*sin(\omega*T)+B*\omega*cos(\omega*T)
[/mm]
Ich denke soweit sollte das stimmen... oder doch nicht ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 05.04.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo rainer,
>
> danke für deine schnelle antwort. Nochmal eine kurze
> Nachfrage, bevor ich an die Rechnung gehe:
>
> Wieso genau brauche ich eigentlich Stetigkeit an der Stelle
> T um einen Ausdruck für die Amplitude für t>T zu finden
> ?
Irgendeinen Ansatz brauchst du, um die Bewegung für $t>T$ festzulegen. Stetigkeit der Funktion $x(t)$ bedeutet ja, dass die Auslenkung nicht springt; Stetigkeit von $x'(t)$, dass die Geschwindigkeit nicht springt. Die Erfahrung bzw das Experiment sagt uns, dass das sinnvolle Ansätze sind.
> Also mein Ansatz ist der folgende:
>
> Lösung für 0<t<T:
>
> [mm]x_{0
>
> [mm]x'_{0
>
>
> für t>T
>
> [mm]x_{t>T}(t)=A*cos(\omega*t)+B*sin(\omega*t)[/mm]
>
> [mm]x'_{t>T}(t)=-A*\omega*sin(\omega*t)+B*\omega*cos(\omega*t)[/mm]
>
> (I) [mm]x_{0T}(T)[/mm] und (II)
> [mm]x'_{t>T}(T)=x'_{0
>
> (I)
> [mm]\bruch{1}{\omega^2}*(1-cos(\omega*T))=A*cos(\omega*T)+B*sin(\omega*T)[/mm]
>
> (II)
> [mm]\bruch{1}{\omega}*(sin(\omega*T))=-A*\omega*sin(\omega*T)+B*\omega*cos(\omega*T)[/mm]
>
> Ich denke soweit sollte das stimmen... oder doch nicht ?
Ja, das ist ein lineares Gleichunssystem für A und B. Am einfachsten wird es, wenn du die zweite Gleichung durch [mm] $\omega$ [/mm] teilst. Es kommt heraus
[mm] A= \bruch{1}{\omega^2} ( \cos \omega T -1) [/mm], [mm] B= \bruch{1}{\omega^2} \sin \omega T [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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