Alternierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Untersuchen sie Folgende Reihe auf abs. Konvergenz bzw. Divergenz:
[mm] \summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3}} [/mm] |
Hallo ihr Lieben :)
Habe mich gerade mit alternierenden Reihen beschäftigt und bin auf dieses Bsp gestoßen.
Bin mir nicht ganz sicher ob ich es richtig gelöst habe.
Hier mein Ansatz: Leibnitz-Kriterium
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n^{2}-4n+3}}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{2n-4}}=0
[/mm]
a{n+1}<a{n}
[mm] \frac{n+1}{(n+1)^{2}-4(n+1)+3}<\frac{n}{n^{2}-4n+3}
[/mm]
[mm] \frac{n+1}{n^{2}-4n+3+2n-3}<\frac{n}{n^{2}-4n+3}
[/mm]
Da der Startwert n=4 ist, ist der Nenner (streng) monoton wachsend (stärker als Zähler) und damit ist der gesamte Term streng monoton fallend.
Damit ist diese alternierende Reihe nach dem Leibnitz-Kriterium konvergent.
Um absolute Konvergenz zu Prüfen habe ich den Term noch abgeschätzt:
[mm] \frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3} \ge \frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^{n}}{n-4} \ge \frac{(-1)^{n}}{n}
[/mm]
genau hier bin ich mir nicht sicher, da der 2. Term bei n=4 0 ist. und der 4. Term bei n=4 [mm] \frac{1}{4} \Rightarrow [/mm] Ungleichung eigentlich falsch (?!) bei Startwert n<5
Betrachtung von [mm] \summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}} [/mm] : Nach dem Quotienten Kriterium ist
[mm] |\frac{a{n+1}}{a{n}}| [/mm] = 1 und somit divergiert diese Minorante.
Somit ist [mm] \summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3}} [/mm] konvergent, jedoch nicht absolut.
Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht :)
Liebe Grüße eure Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
habe mir überlegt $ [mm] \summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\cdot{}n}{n^{2}-4n+3}} [/mm] $
einfach als $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+4}\cdot{}(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}} [/mm] $ zu schreiben und anschließend ab zu schätzen:
[mm] \frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3} \ge \frac{1}{(n+4)-4} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}
[/mm]
und die harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}} [/mm] divergiert bekanntlich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Fr 06.01.2012 | | Autor: | donquijote |
> habe mir überlegt
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}\cdot{}n}{n^{2}-4n+3}}[/mm]
>
> einfach als
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+4}\cdot{}(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}}[/mm]
> zu schreiben und anschließend ab zu schätzen:
>
> [mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3} \ge \frac{1}{(n+4)-4}[/mm] =
> [mm]\frac{1}{n}[/mm]
>
> und die harmonische Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n}}[/mm] divergiert bekanntlich.
>
Das funktioniert vom Ansatz her auch. Wenn es um die Beträge gehen soll, ist aber auch ihr das [mm] (-1)^{...} [/mm] zu viel. Und für eine saubere Abschätzung fehlt eine Begründung, warum du die 3 im Nenner einfach unter den Tisch kehren kannst.
In diesem Fall ist es wahrscheilich am einfachsten, denn Nenner durch
[mm] 4(n+4)\ge 16\ge 3\Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3\ge (n+4)^2 [/mm] abzuschätzen, woraus folgt
[mm] \frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge\frac{1}{n+4}, [/mm] was auch divergiert (harmonische Reihe mit Indexverschiebung)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
> Das funktioniert vom Ansatz her auch. Wenn es um die
> Beträge gehen soll, ist aber auch ihr das [mm](-1)^{...}[/mm] zu
> viel. Und für eine saubere Abschätzung fehlt eine
> Begründung, warum du die 3 im Nenner einfach unter den
> Tisch kehren kannst.
> In diesem Fall ist es wahrscheilich am einfachsten, denn
> Nenner durch
> [mm]4(n+4)\ge 16\ge 3\Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3\ge (n+4)^2[/mm]
> abzuschätzen, woraus folgt
> [mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge\frac{1}{n+4},[/mm] was auch
> divergiert (harmonische Reihe mit Indexverschiebung)
wenn [mm] 4(n+4)\ge 16\ge [/mm] 3 müsste doch [mm] \Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3 \le (n+4)^2 [/mm] ?! da -4(n+4)+3 < 1 wenn n>0 ?!
nur so kann doch
[mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge \frac{n+4}{(n+4)^2} = \frac{1}{n+4},[/mm] stimmen. Oder irre ich mich und hier werden wieder die Beträge betrachtet ?!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Fr 06.01.2012 | | Autor: | donquijote |
> > Das funktioniert vom Ansatz her auch. Wenn es um die
> > Beträge gehen soll, ist aber auch ihr das [mm](-1)^{...}[/mm] zu
> > viel. Und für eine saubere Abschätzung fehlt eine
> > Begründung, warum du die 3 im Nenner einfach unter den
> > Tisch kehren kannst.
> > In diesem Fall ist es wahrscheilich am einfachsten,
> denn
> > Nenner durch
> > [mm]4(n+4)\ge 16\ge 3\Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3\ge (n+4)^2[/mm]
> > abzuschätzen, woraus folgt
> > [mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge\frac{1}{n+4},[/mm] was
> auch
> > divergiert (harmonische Reihe mit Indexverschiebung)
>
> wenn [mm]4(n+4)\ge 16\ge[/mm] 3 müsste doch [mm]\Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3 \le (n+4)^2[/mm]
> ?! da -4(n+4)+3 < 1 wenn n>0 ?!
ja, wobei [mm] -4(n+4)+3\le [/mm] 0 benutzt wird.
>
> nur so kann doch
>
> [mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge \frac{n+4}{(n+4)^2} = \frac{1}{n+4},[/mm]
> stimmen. Oder irre ich mich und hier werden wieder die
> Beträge betrachtet ?!
Es geht schon um [mm] |a_n|, [/mm] was du ja geschrieben hast (ohne [mm] (-1)^{...}).
[/mm]
Dieser teil dient ja dazu, zu zeigen, dass die reihe nicht absolut konvergiert.
>
>
> Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
> > wenn [mm]4(n+4)\ge 16\ge[/mm] 3 müsste doch [mm]\Rightarrow (n+4)^{2}-4(n+4)+3 \le (n+4)^2[/mm]
> > ?! da -4(n+4)+3 < 1 wenn n>0 ?!
>
> ja, wobei [mm]-4(n+4)+3\le[/mm] 0 benutzt wird.
Oh genau. Sprich ich hab es richtig verstanden dass gelten muss:
[mm] (n+4)^{2}-4(n+4)+3 \le (n+4)^2
[/mm]
daher kommt ja dann auch -4(n+4)+3 [mm] \le [/mm] 0
> > nur so kann doch
> >
> > [mm]\frac{(n+4)}{(n+4)^{2}-4(n+4)+3}\ge \frac{n+4}{(n+4)^2} = \frac{1}{n+4},[/mm]
> > stimmen. Oder irre ich mich und hier werden wieder die
> > Beträge betrachtet ?!
>
> Es geht schon um [mm]|a_n|,[/mm] was du ja geschrieben hast (ohne
> [mm](-1)^{...}).[/mm]
> Dieser teil dient ja dazu, zu zeigen, dass die reihe nicht
> absolut konvergiert.
Super danke, ich glaube ich hab's verstanden :)
Liebe Grüße Meely
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du wolltest doch eigentlich die Konvergenz der alternierenden Reihe beweisen? dazu hilft dir sicher nicht, dass [mm] a_n\ge [/mm] 1/n ist, das zeigt nur dass die nicht alternierende, also absolute reihe divergiert. für die Konvergenz musst du nur zeigen, dass ab einem [mm] n_0 [/mm] du eine monoton allende Nullfolge hast. dann greift das leibnizkriterium.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo
> du wolltest doch eigentlich die Konvergenz der
> alternierenden Reihe beweisen?
Ja wollte ich und wurde schon getan :) - siehe weiter oben.
>dazu hilft dir sicher nicht,
> dass [mm]a_n\ge[/mm] 1/n ist, das zeigt nur dass die nicht
> alternierende, also absolute reihe divergiert.
Genau das wollte ich Zeigen -> Minoratenkriterium für alternierende Reihen.
> für die
> Konvergenz musst du nur zeigen, dass ab einem [mm]n_0[/mm] du eine
> monoton allende Nullfolge hast. dann greift das
> leibnizkriterium.
Wie gesagt, schon getan :) (siehe allererste Frage - anschließend freundlicherweise von donquijote korrigiert)
> Gruss leduart
Liebe Grüße Meely :)
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> Genau das wollte ich Zeigen -> Minoratenkriterium für
> alternierende Reihen.
Sehr schön ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Minoranten- und Majorantenkriterien sind immer ein heißer Tipp bei alternierenden Reihen.
LG Scherzkrapferl
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> Untersuchen sie Folgende Reihe auf abs. Konvergenz bzw.
> Divergenz:
>
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3}}[/mm]
> Hallo ihr Lieben :)
>
> Habe mich gerade mit alternierenden Reihen beschäftigt und
> bin auf dieses Bsp gestoßen.
> Bin mir nicht ganz sicher ob ich es richtig gelöst habe.
>
> Hier mein Ansatz: Leibnitz-Kriterium
das ist schonmal der richtige ansatz
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{n^{2}-4n+3}}=\limes_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{2n-4}}=0[/mm]
>
> a{n+1}<a{n}
>
> [mm]\frac{n+1}{(n+1)^{2}-4(n+1)+3}<\frac{n}{n^{2}-4n+3}[/mm]
>
> [mm]\frac{n+1}{n^{2}-4n+3+2n-3}<\frac{n}{n^{2}-4n+3}[/mm]
>
> Da der Startwert n=4 ist, ist der Nenner (streng) monoton
> wachsend (stärker als Zähler) und damit ist der gesamte
> Term streng monoton fallend.
stimmt zwar, aber deine Argumentation überzeugt mich nicht wirklich. "Nenner wächst stärker als der Zähler" ist jedenfalls kein Beweis für Monotonie.
Relativ einfach zu sehen ist die Monotonie, wenn du
[mm] \frac{n}{n^{2}-4n+3}=\frac{n-1+1}{(n-1)*(n-3)}=\frac{1}{n-3}+\frac{1}{(n-1)*(n-3)} [/mm] schreibst.
>
> Damit ist diese alternierende Reihe nach dem
> Leibnitz-Kriterium konvergent.
ja
> Um absolute Konvergenz zu Prüfen habe ich den Term noch
> abgeschätzt:
>
> [mm]\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3} \ge \frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n}[/mm]
> = [mm]\frac{(-1)^{n}}{n-4} \ge \frac{(-1)^{n}}{n}[/mm]
Der Ansatz ist ok, die Rechnung enthält Fehler. Zum einen hat der Term [mm] (-1)^n [/mm] bei der Abschätzung der Beträge nichts zu suchen. Bei der ersten Ungleichung machst du den Nenner kleiner, d.h. der Bruch wird (betragsmäßig) größer.
>
> genau hier bin ich mir nicht sicher, da der 2. Term bei n=4
> 0 ist. und der 4. Term bei n=4 [mm]\frac{1}{4} \Rightarrow[/mm]
> Ungleichung eigentlich falsch (?!) bei Startwert n<5
Wenn es für n=4 nicht passt wäre das grundsätzlich kein Problem, da endlich viele Summanden für die Frage nach Konvergenz oder nicht keine Rolle spielen. Du brauchst immer nur Abschätzungen für [mm] n\ge n_0.
[/mm]
Für dieses beispiel erhältst du jedoch mit meiner Darstellung von oben für alle [mm] n\ge [/mm] 4 die Abschätzung [mm] |a_n|\ge [/mm] 1/n.
>
> Betrachtung von [mm]\summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{n}}[/mm] :
> Nach dem Quotienten Kriterium ist
>
> [mm]|\frac{a{n+1}}{a{n}}|[/mm] = 1 und somit divergiert diese
> Minorante.
korrekt
>
> Somit ist
> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3}}[/mm]
> konvergent, jedoch nicht absolut.
>
>
> Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht :)
>
> Liebe Grüße eure Meely
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
>
> stimmt zwar, aber deine Argumentation überzeugt mich nicht
> wirklich. "Nenner wächst stärker als der Zähler" ist
> jedenfalls kein Beweis für Monotonie.
> Relativ einfach zu sehen ist die Monotonie, wenn du
>
> [mm]\frac{n}{n^{2}-4n+3}=\frac{n-1+1}{(n-1)*(n-3)}=\frac{1}{n-3}+\frac{1}{(n-1)*(n-3)}[/mm]
> schreibst.
Wow ! Vielen Dank, hab mir schon gedacht, dass die Argumentation etwas dürftig ist.
>
> > Um absolute Konvergenz zu Prüfen habe ich den Term noch
> > abgeschätzt:
> >
> > [mm]\frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n+3} \ge \frac{(-1)^{n}*n}{n^{2}-4n}[/mm]
> > = [mm]\frac{(-1)^{n}}{n-4} \ge \frac{(-1)^{n}}{n}[/mm]
>
> Der Ansatz ist ok, die Rechnung enthält Fehler. Zum einen
> hat der Term [mm](-1)^n[/mm] bei der Abschätzung der Beträge
> nichts zu suchen. Bei der ersten Ungleichung machst du den
> Nenner kleiner, d.h. der Bruch wird (betragsmäßig)
> größer.
Danke :) war mir nicht sicher ob das mit dem [mm] (-1)^{n} [/mm] richtig ist
> > Ungleichung eigentlich falsch (?!) bei Startwert n<5
>
> Wenn es für n=4 nicht passt wäre das grundsätzlich kein
> Problem, da endlich viele Summanden für die Frage nach
> Konvergenz oder nicht keine Rolle spielen. Du brauchst
> immer nur Abschätzungen für [mm]n\ge n_0.[/mm]
> Für dieses
> beispiel erhältst du jedoch mit meiner Darstellung von
> oben für alle [mm]n\ge[/mm] 4 die Abschätzung [mm]|a_n|\ge[/mm] 1/n.
>
Was hältst du von meiner Idee (Mitteilung) ? Habe eine Indexverschiebung durchgeführt und bin ebenfalls auf [mm] \frac{1}{n} [/mm] gekommen :)
Vielen dank für die ausführliche Antwort, hast mir schon mal sehr geholfen :)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Fr 06.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal, wozu die Abschätzungen?
2. wo hast du ne indexverschiebung gemacht?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Fr 06.01.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo
> nochmal, wozu die Abschätzungen?
> 2. wo hast du ne indexverschiebung gemacht?
> Gruss leduart
Musste absolute Konvergenz zeigen/widerlegen. Konvergenz wurde gezeigt also habe ich das Minorantenkriterium für alternierende Reihen angewendet. "Eine Reihe die eine divergente Minorante besitzt, ist nicht absolut konvergent."
Indexverschiebung habe ich in der aller ersten Mitteilung "idee" gemacht. Wurde ebenfalls von donquijote korrigiert/nachgebessert :)
Trotzdem Danke, dass du dir Zeit für mich genommen hast :)
Liebe Grüße
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