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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Sa 12.05.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Ist G eine endliche Gruppe, so existiert eine natürliche Zahl n derart, dass G isomorph
ist zu einer Untergruppe der alternierenden Gruppe [mm] A_{n} [/mm] ist. |
Hallo,
wie fang ich denn hier am besten an?
Vielen Dank!
Grüße
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Sei [mm]k=|G|[/mm]. Versuche folgende Inklusion zu zeigen
[mm]G\subseteq S_k[/mm] (Satz von Caley, muss als nicht gezeigt werden, sofern du es schon hattest)
und eine Inklusionsabbildung
[mm]S_k \hookrightarrow A_{k+2}[/mm] oder [mm]S_k \hookrightarrow A_{2k}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
danke für den Tipp! Jetzt habe ich aber eine grundsätzliche Frage zu Permutationen.
Ich habe hier zwei Definitionen zu geraden Permutationen, die sich meines erachtens widersprechen.
1) Wenn sich eine Permutation aus einer geraden Anzahl von Transpositionen schreiben lässt dann heißt die Permutation gerade.
Also z.B.: (1324) = (13)(32)(24) ungerade und (13245768) = (13)(32)(24)(45)(57)(76)(68) ungerade
2) Wenn eine Permuation eine gerade Anzahl von Fehlständen hat, dann heißt sie gerade Permutation
Also mit obigen Beispielen:
(13245) = ein Fehlstand = ungerade aber und jetzt widerspricht sich das doch zu oben (13245768) = zwei Fehlstände = gerade Permutation
Wo ist denn hier mein Denkfehler.
Ich will ja zeigen [mm]\phi: S_k \to A_{2k}[/mm] und [mm] \phi(\sigma) \subseteq A_{2k}[/mm] das geht ja aber nur wenn alle [mm]\phi(\sigma)[/mm] gerade sind.
Danke!
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> Hallo,
> danke für den Tipp! Jetzt habe ich aber eine
> grundsätzliche Frage zu Permutationen.
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> Ich habe hier zwei Definitionen zu geraden Permutationen,
> die sich meines erachtens widersprechen.
>
> 1) Wenn sich eine Permutation aus einer geraden Anzahl von
> Transpositionen schreiben lässt dann heißt die
> Permutation gerade.
> Also z.B.: (1324) = (13)(32)(24) ungerade und (13245768) =
> (13)(32)(24)(45)(57)(76)(68) ungerade
>
> 2) Wenn eine Permuation eine gerade Anzahl von Fehlständen
> hat, dann heißt sie gerade Permutation
> Also mit obigen Beispielen:
> (13245) = ein Fehlstand = ungerade aber und jetzt
> widerspricht sich das doch zu oben (13245768) = zwei
> Fehlstände = gerade Permutation
[mm]\pi=\pmat{1&2&3&4&5&6&7&8\\
3&4&2&5&7&8&6&1}[/mm]
zähl noch einmal die Fehlstände $(i,j)$ (mit $i<j$ und [mm] $\pi(i)>\pi(j)$ [/mm] )durch. Da seh ich auf Anhieb mehrere.
>
> Wo ist denn hier mein Denkfehler.
>
> Ich will ja zeigen [mm]\phi: S_k \to A_{2k}[/mm] und [mm]\phi(\sigma) \subseteq A_{2k}[/mm]
> das geht ja aber nur wenn alle [mm]\phi(\sigma)[/mm] gerade sind.
>
> Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, ok verdammt, das hab ich verpeilt. Sry.
Ich dachte es könnte so funktionieren:
Setze [mm] \sigma=(a_1,...a_k)[/mm] und
[mm] \phi: S_k \to A_{2k}[/mm] mit
[mm] (a_1,...,a_k) \mapsto (a_1,...,a_k,a_1+k,...,a_k+k)[/mm]
Dann müsste ich ja zeigen, dass alle Permutation [mm]\phi(\sigma) \subseteq A_{2k}[/mm] also genau dann wenn [mm] \phi(\sigma) [/mm] gerade Permutationen sind bzw. eine gerade Anzahl von Fehlständen besitzen. Gerade das funktioniert aber nicht mit den obigen Beispielen:
[mm] \sigma=(1324) [/mm] und [mm] \phi(\sigma)=(13245768).
[/mm]
Wo ist der Denkfehler?
Danke
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Ich versteht nicht so recht, wie du da Elemente addieren möchtest.
Die [mm]A_n[/mm] hat nur gerade Permutationen.
Konstruier doch einfach eine Abbildung, die nur ungerade Permutationen gerade "macht".
Das wäre dann die Abbildung
[mm]S_n\to A_{n+2}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 13.05.2012 | | Autor: | teo |
> Ich versteht nicht so recht, wie du da Elemente addieren
> möchtest.
> Die [mm]A_n[/mm] hat nur gerade Permutationen.
>
> Konstruier doch einfach eine Abbildung, die nur ungerade
> Permutationen gerade "macht".
> Das wäre dann die Abbildung
> [mm]S_n\to A_{n+2}[/mm]
Ok danke. Ich komm nur leider nicht drauf wie die Abbildung dann konkret ausschaut.
Vielen Dank!
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Das [mm]\pi\in S_n[/mm] permutiert die Zahlen 1,...,n.
Die Inklusionsabbildung ist
[mm]f(\pi)=\begin{cases} \pi,&\ldots\\
\ldots, & \mbox{fuer } sgn(\pi)=-1 \end{cases}[/mm]
Falls das Vorzeichen -1 ist zauberst du einfach noch eine Transposition daran, sodass die Permutation der Zahlen 1,..., n sich nicht verändert.
Du hast ja noch n+1 und n+2 als zusätzliche Elemente. Klar?
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