Alternative Def. Normalteiler < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 So 10.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo allerseits!
Auf S.17 nach der Definition 4 steht, daß eine Untergruppe [mm] $H\subset [/mm] G$ bereits dann Normalteiler in $G$ ist, wenn [mm] $aHa^{-1}\subset [/mm] H$ für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gilt.
Ich habe versucht, aus der kurzen Begründung, die dann folgt, einen Beweis zu formulieren, bin mir aber nicht ganz sicher, ob er korrekt ist. Es wäre schön, wenn jemand ihn überprüfen könnte.
Behauptung:
[mm] [quote]$\forall a\in [/mm] G: [mm] aHa^{-1} \subset [/mm] H [mm] \Rightarrow \forall a\in [/mm] G: aH=Ha$.[/quote]
Beweis:
Für alle [mm] $a\in [/mm] G$ gelte [mm] $aHa^{-1} \subset [/mm] H$.
Sei [mm] $a\in [/mm] G$ beliebig. Zu zeigen ist, daß $aH=Ha$ ist.
[mm] "$\subset$": [/mm] Sei [mm] $x\in [/mm] aH$ beliebig. Dann gibt es ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit $x=ah$. Es folgt [mm] $x=ahe=aha^{-1}a$. [/mm] Da [mm] $aHa^{-1} \subset [/mm] H$ gilt, ist [mm] $aha^{-1} \in [/mm] H$ und daher [mm] $x\in [/mm] Ha$.
[mm] "$\supset$": [/mm] Nach Voraussetzung gilt auch [mm] $a^{-1}Ha=a^{-1}H(a^{-1})^{-1} \subset [/mm] H$.
Sei nun [mm] $x\in [/mm] Ha$ beliebig. Dann gibt es ein [mm] $h\in [/mm] H$ mit $x=ha$. Wiederum folgt [mm] $x=eha=aa^{-1}ha$, [/mm] und da [mm] $a^{-1}ha\in [/mm] H$ ist, ist [mm] $x\in [/mm] aH$.
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt's so?
Gruß, phrygian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Mo 11.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo phrygian,
so kann man das machen. Es ist dann übrigens [mm] a^{-1}Ha [/mm] = H [mm] \forall [/mm] a, was ich mal in grauer Vorzeit als Def. für Normalteiler gelernt habe.
Gruß und schöne Woche
Dieter
PS: Ist das mit deiner Lösung zu 1.1, Aufg. 5 inzwischen klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Mo 11.09.2006 | | Autor: | phrygian |
Hallo Dieter,
> so kann man das machen.
O.K., danke fürs Überprüfen!
> Ist das mit deiner Lösung zu 1.1, Aufg. 5 inzwischen klar?
Ja, aus irgend einem Grund konntet ihr sie nicht lesen, obwohl ich sie als Lösung markiert hatte. Marc hat den Fehler behoben und Felix die Aufgabe korrigert.
Auch dir eine schöne Woche!
Gruß, phrygian
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