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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Di 04.12.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Es seien x,y [mm] \in \IR^n, [/mm] also [mm] x=(x_1,...,x_n) [/mm] und [mm] y=(y_1,...,y_n) [/mm] mit [mm] x_j,y_j \in \IR.
[/mm]
Entscheiden Sie, für welche [mm] \lambda [/mm] = [mm] (\lambda_1,...,\lambda_n) [/mm] mit [mm] \lambda_j \in \IR
[/mm]
[mm] _\lambda [/mm] = [mm] \lambda_1*x_1*y_1+...+\lambda_n*x_n*y_n
[/mm]
ein allgemeines Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] definiert. |
Hallo,
in meinem Skript habe ich 4 Bedingungen die zu erfüllen sind, damit ich ein allgemeines Skalarprodukt bekomme. Von diesen 4 ist m.M.n jedoch nur eins relevant, das Distributivgesetz muss gelten:
s*<x|y> = <s*x|y> = <x|s*y> für alle x,y [mm] \in \IR^n [/mm] und alle s [mm] \in \IR
[/mm]
Also analog zu meiner Aufgabe:
[mm] \lambda* [/mm] = [mm] <\lambda*x|y> [/mm] = [mm]
[/mm]
Jetzt verstehe ich nicht so ganz was verlangt wird. Das Distributivgesetz gilt hier ja für alle [mm] \lambda \in \IR. [/mm] Somit beantwortet sich die Frage doch eigentlich schon von selbst, oder übersehe ich hier etwas ?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien x,y [mm]\in \IR^n,[/mm] also [mm]x=(x_1,...,x_n)[/mm] und
> [mm]y=(y_1,...,y_n)[/mm] mit [mm]x_j,y_j \in \IR.[/mm]
> Entscheiden Sie, für
> welche [mm]\lambda[/mm] = [mm](\lambda_1,...,\lambda_n)[/mm] mit [mm]\lambda_j \in \IR[/mm]
>
> [mm]_\lambda[/mm] = [mm]\lambda_1*x_1*y_1+...+\lambda_n*x_n*y_n[/mm]
>
> ein allgemeines Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] definiert.
> Hallo,
>
> in meinem Skript habe ich 4 Bedingungen die zu erfüllen
> sind, damit ich ein allgemeines Skalarprodukt bekomme. Von
> diesen 4 ist m.M.n jedoch nur eins relevant, das
> Distributivgesetz muss gelten:
>
> s*<x|y> = <s*x|y> = <x|s*y> für alle x,y [mm]\in \IR^n[/mm] und
> alle s [mm]\in \IR[/mm]
wer nennt das denn Distributivgesetz? Was gelten muss, sind die
folgenden Axiome:
Symmetrie
(S) [mm] $_\lambda=_\lambda$$
[/mm]
Die liefert hier keine Bedingung an [mm] $\lambda\,.$
[/mm]
(Bi-)Linearität:
(L1) [mm] $_\lambda=_\lambda+_\lambda$
[/mm]
(L2) [mm] $_\lambda=s*_\lambda$ [/mm]
(Mit der Symmetrie folgt so schon die Bilinearität!)
Positive Definitheit:
(P1) [mm] $_\lambda\;\; \ge [/mm] 0$
(P2) [mm] $_\lambda\;\;=0 \Rightarrow [/mm] x=0$
[mm] ($x,y,z\,$ [/mm] "Vektoren", [mm] $s\,$ [/mm] Skalar!)
> Also analog zu meiner Aufgabe:
>
> [mm]\lambda*[/mm] = [mm]<\lambda*x|y>[/mm] = [mm][/mm]
>
> Jetzt verstehe ich nicht so ganz was verlangt wird. Das
> Distributivgesetz gilt hier ja für alle [mm]\lambda \in \IR.[/mm]
> Somit beantwortet sich die Frage doch eigentlich schon von
> selbst, oder übersehe ich hier etwas ?
Na, das [mm] $\lambda$ [/mm] ist in der Darstellung [mm] $<.,.>_\lambda$ [/mm] ein PARAMETER,
und Du schreibst nun auch nicht mehr [mm] $<.,.>_\lambda\,,$ [/mm] sondern nur noch
$<.,.>$ - also irgendwie bist Du da durcheinander gekommen!!
Das, was Du schreibst, sähe doch mit dem [mm] $<.,.>_\lambda\,,$ [/mm] wenn Du es
richtig schreibst, aus wie in (L2):
[mm] $$_\lambda=s*_\lambda$$ [/mm]
Und "super schlecht" wäre es dabei natürlich, anstatt [mm] $s\,$ [/mm] nochmal
[mm] $\lambda$ [/mm] "als frei variierbaren Skalar" zu verwenden, denn [mm] $\lambda$ [/mm]
darf zwar einmal beliebig, aber fest, gewählt werden (solange wir noch
keine Forderungen stellen oder formuliert haben - wenn [mm] $<.,.>_\lambda$
[/mm]
ein Skalarprodukt definieren soll, dann darf das [mm] $\lambda$ [/mm] nur noch
"eingeschränkt(er)" gewählt werden), aber es bleibt dann fest - das ist
also ein Parameter. D.h., sobald Du [mm] $s=\lambda$ [/mm] schreibst, ist [mm] $s\,$ [/mm] auch
eine feste Variable und die Forderung
[mm] $$_\lambda=s*_\lambda$$
[/mm]
die ja für JEDEN Skalar [mm] $s\,,$ [/mm] also jedes $s [mm] \in \IR\,,$ [/mm] gelten soll, ginge
dann über in
[mm] $$<\lambda*x,y>_\lambda=\lambda*_\lambda\,,$$
[/mm]
was nur noch eine Forderung für speziell [mm] $s=\lambda$ [/mm] wäre, so dass diese
Bedingungen i.a. nicht äquivalent sind.
Und in der Aufgabe gibt's definitiv Forderungen an [mm] $\lambda\,,$ [/mm] denn
betrachten wir mal (P1):
Ist etwa $n [mm] \ge [/mm] 3$ und [mm] $e_k$ [/mm] ($k [mm] \in \{1,...,n\}$) [/mm] der [mm] $k\,$-te [/mm]
Einheitsvektor des [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] so muss ja gelten:
[mm] $$_\lambda\;\; \ge 0\,.$$
[/mm]
Daraus folgt sofort schonmal die Bedingung, dass [mm] $\lambda_k \ge [/mm] 0$
gelten muss.
Also, kurz gesagt: [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$ (die Null rechterhand ist die Null des
[mm] $\IR^n\,,$ [/mm] und [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$ besagt daher, dass jede Komponente von
[mm] $\lambda$ [/mm] größergleich der zugehörigen dieser $0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] sein soll.
Allgemein: [mm] $a=(a_1,...,a_n),\; b=(b_1,...,b_n) \in \IR^n\,,$ [/mm] dann gilt
per Definitionem $a [mm] \ge [/mm] b: [mm] \gdw\; a_j \ge b_j \text{ für }j \in \{1,...,n\}\,.$)
[/mm]
Und damit das ganze vielleicht klarer wird: Berechne doch mal
meinetwegen
[mm] $$_\lambda$$
[/mm]
für speziell [mm] $\lambda=(0,0,...,0)$
[/mm]
und auch
[mm] $$_\lambda$$
[/mm]
für [mm] $\lambda:=(-1,-1,0,...,0)\,,$ [/mm] meinetwegen auch in SPEZIELLEN
[mm] $\IR^n\,,$ [/mm] mit $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] (Etwa [mm] $n=3\,$ [/mm] oder [mm] $n=5\,.$)
[/mm]
P.S. Bisher habe ich oben nur begründet, dass, damit [mm] $<.,.>_\lambda$ [/mm] ein
Skalarprodukt auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm] liefert, in notwendiger Weise [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$
(rechterhand $0 [mm] \in \IR^n$) [/mm] gelten muss. Ob das hinreichend ist, kannst
Du nun selbst überlegen. Die Symmetrie ist ja kein Problem.
Wie sieht's dann mit der (Bi-)Linearität aus?
Aber einen Haken wird's wohl geben: Ich behaupte, dass [mm] $\lambda \ge [/mm] 0$
nicht reichen wird, sondern dass man sogar [mm] $\lambda [/mm] > 0$ (also
[mm] $\lambda_k [/mm] > 0$ für $k=1,...,n$) fordern muss. Warum?
(Tipp: Denke an obige Rechnung mit dem Einheitsvektor [mm] $e_k$ [/mm] - d.h.
schreibe Dir mal hin, was [mm] $_\lambda$ [/mm] ist und denke drüber nach,
wieso das zum Widerspruch zu (P2) steht, wenn [mm] $\lambda_k=0$ [/mm] wäre...)
P.P.S.
Wenn Du immer noch nicht ganz den Überblick über die Aufgabe gefunden
hast: Löse sie doch erstmal speziell für [mm] $n=3\,,$ [/mm] also [mm] $\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\,.$
[/mm]
(Man könnte auch mit [mm] $n=1\,$ [/mm] anfangen, dann wäre das aber fast
"nichtssagend" in Hinblick auf ein allgemeines [mm] $n\,.$ [/mm] Für [mm] $n=2\,$ [/mm] sieht man
dahingehend schon mehr, ich empfehle einfach rein gefühlsmäßig dennoch
[mm] $n=3\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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