Allgemeine harmonische Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ich suche einen Beweis zu :
Wenn s [mm] \in \IN [/mm] mit s [mm] \ge [/mm] 2, dann [mm] \sum_{n=1}^\infty 1/(n^s) [/mm] ist konvergent |
Ich Internet habe ich dazu Integralbeweise gefunden, aber das haben wir noch nicht gemacht, also suche ich einen anderen Beweis.
Wäre dankbar für jede Verlinkung/Hinweise.
|
|
| |
|
> Ich suche einen Beweis zu :
> Wenn s [mm]\in \IN[/mm] mit s [mm]\ge[/mm] 2, dann [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/(n^s)[/mm]
> ist konvergent
> Ich Internet habe ich dazu Integralbeweise gefunden, aber
> das haben wir noch nicht gemacht, also suche ich einen
> anderen Beweis.
> Wäre dankbar für jede Verlinkung/Hinweise.
Hallo theresetom,
falls es gelingt, den Beweis für s=2 zu führen, ist es
nicht schwer, auf ihm basierend auch den Fall s>2 zu
erledigen.
Für den Fall s=2 sollte dieser Tipp hilfreich sein:
Betrachte zunächst anstelle von [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}[/mm]
die Summen [mm]\sum_{n=1}^k \frac{1}{n*(n+1)}[/mm]
sowie die Reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n*(n+1)}[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 27.02.2012 | | Autor: | huzein |
Eine andere Möglichkeit (direkter Beweis) wäre mit dem Cauchyschen Verdichtungskriterium.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich suche einen Beweis zu :
> Wenn s [mm]\in \IN[/mm] mit s [mm]\ge[/mm] 2, dann [mm]\sum_{n=1}^\infty 1/(n^s)[/mm]
> ist konvergent
zwei Hinweise zu Als Tipp:
1. Beachte:
[mm] $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \le 1+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\,.$$
[/mm]
2. Schreibe [mm] $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n+1}\,,$ [/mm] wobei Du [mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,$ [/mm] dann bestimmen musst. (Stichwort: Partialbruchzerlegung.)
Danach siehst Du: Ziehhhhhhhh(aarmonika)...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
