Allgemeine Lösung der Wellengl < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:24 Di 07.06.2011 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass die Funktion [mm] $f(x,t)=f\left(t-\frac{x}{c}\right)$ [/mm] die eindimensionale Wellengleichung erfüllt. |
Meine Frage ist eher ein mathematisches Problem:
Die eindimensionale Wellengleichung im Vakuum:
[mm] $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0$
[/mm]
Mein Problem ist nun zu zeigen, dass die zweifache zeitliche Ableitung der Funktion nach Ort und Zeit die gleiche ist...
Bei der einfachen Ableitung ist das noch kein Problem indem man geschickt mit 1 erweitert, wobei
[mm] $f(x,t)=f\underbrace{\left(t-\frac{x}{c}\right)}_{=y}$
[/mm]
gilt.
Später soll in der Wellengleichung dann [mm] $\psi$ [/mm] durch $f(x, t)$ ersetzt werden.
[mm] $\frac{\partial\psi}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial\psi}{\partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}$
[/mm]
bzw. mit [mm] $\psi=f(x, [/mm] t)$:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \left(-\frac{1}{c}\right)$
[/mm]
Das selbe Spiel kann man für die Zeitableitung durchführen:
[mm] $\frac{\partial\psi}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial\psi}{\partial t} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}$
[/mm]
bzw. mit [mm] $\psi=f(x, [/mm] t)$:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial y} \cdot [/mm] 1$
Doch wie geht man vor wenn dort dann die zweifache Ableitung nach y stehen soll...
Wenn ich nochmal genauso erweiter bekomme ich nach meinem mathematischen Verständnis (Vielleicht liegt es auch an meinem unwissen über den partiellen Differentialoperator):
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial^2 y^2}{\partial^2 y^2}$ [/mm] ???
was ich nicht in die gewünschte Form kriege...
Denn ich suche ja folgendes:
[mm] $\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} [/mm] = [mm] $\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \cdot \frac{1}{c^2}
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} [/mm] = [mm] $\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \cdot [/mm] 1
Dann kann man in die Wellengleichung einsetzen und sieht, dass sie für die Funktion $f(x, t)$ erfüllt ist.
Vielen Dank schonmal im vorraus und besten Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Beweisen Sie, dass die Funktion
> [mm]f(x,t)=f\left(t-\frac{x}{c}\right)[/mm] die eindimensionale
> Wellengleichung erfüllt.
> Meine Frage ist eher ein mathematisches Problem:
>
> Die eindimensionale Wellengleichung im Vakuum:
>
> [mm]\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}-\frac{1}{c^2}\cdot\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0[/mm]
>
> Mein Problem ist nun zu zeigen, dass die zweifache
> zeitliche Ableitung der Funktion nach Ort und Zeit die
> gleiche ist...
> Bei der einfachen Ableitung ist das noch kein Problem
> indem man geschickt mit 1 erweitert, wobei
> [mm]f(x,t)=f\underbrace{\left(t-\frac{x}{c}\right)}_{=y}[/mm]
> gilt.
>
> Später soll in der Wellengleichung dann [mm]\psi[/mm] durch [mm]f(x, t)[/mm]
> ersetzt werden.
>
> [mm]\frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}[/mm]
>
Der Mittelteil ist unötig:
[mm]\frac{\partial\psi}{\partial x} =\frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}[/mm]
>
> bzw. mit [mm]\psi=f(x, t)[/mm]:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \left(-\frac{1}{c}\right)[/mm]
Auch hier:
[mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \left(-\frac{1}{c}\right)[/mm]
>
> Das selbe Spiel kann man für die Zeitableitung
> durchführen:
>
> [mm]\frac{\partial\psi}{\partial t} = \frac{\partial\psi}{\partial t} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}[/mm]
>
Ebenso hier:
[mm]\frac{\partial\psi}{\partial t} = \frac{\partial\psi}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t}[/mm]
> bzw. mit [mm]\psi=f(x, t)[/mm]:
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial t} \cdot \frac{\partial y}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1[/mm]
>
Dito:
[mm]\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1[/mm]
> Doch wie geht man vor wenn dort dann die zweifache
> Ableitung nach y stehen soll...
> Wenn ich nochmal genauso erweiter bekomme ich nach meinem
> mathematischen Verständnis (Vielleicht liegt es auch an
> meinem unwissen über den partiellen
> Differentialoperator):
>
>
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial^2 y^2}{\partial^2 y^2}[/mm]
> ???
>
> was ich nicht in die gewünschte Form kriege...
>
Es ist doch:
[mm]\frac{\partial f}{\partial t} = = \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 1=f_{y}\left(\ y\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
Verwende die Kettenregel.für [mm]\bruch{\partial}{\partial t}f_{y}\left(\ y\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
Analog [mm]\bruch{\partial}{\partial x}f_{y}\left(\ y\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
> Denn ich suche ja folgendes:
>
> [mm]\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} =[/mm][mm] \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \cdot \frac{1}{c^2}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} =[/mm][mm] \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \cdot[/mm]
> 1
>
> Dann kann man in die Wellengleichung einsetzen und sieht,
> dass sie für die Funktion [mm]f(x, t)[/mm] erfüllt ist.
>
> Vielen Dank schonmal im vorraus und besten Gruß,
> tedd
>
Gruss
MathePower
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