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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL
y'' - [mm] \wurzel{\alpha} [/mm] *y' + [mm] \alpha [/mm] = 0
in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] >= 0 |
Hallo,
ich wusste bei dieser Aufgabe ganz ehrlich nicht was mit der Konstante anfangen.
Normalerweise habe ich immer so sachen mit dem Ansatz des charakteristischen Polynoms gelöst, wüsste aber nicht wie ich das hier mache.
Für [mm] \alpha [/mm] = 0 bekomme ich die Lösungen 0 und [mm] \wurzel{\alpha}
[/mm]
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Hallo,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL
> y'' - [mm]\wurzel{\alpha}[/mm] *y' + [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] >= 0
> Hallo,
>
> ich wusste bei dieser Aufgabe ganz ehrlich nicht was mit
> der Konstante anfangen.
> Normalerweise habe ich immer so sachen mit dem Ansatz des
> charakteristischen Polynoms gelöst, wüsste aber nicht wie
> ich das hier mache.
> Für [mm]\alpha[/mm] = 0 bekomme ich die Lösungen 0 und
> [mm]\wurzel{\alpha}[/mm]
Du musst deine Rechenergebnisse gründlicher interpretieren: wenn von vornherein [mm] \alpha=0 [/mm] ist dann bekommst du die Doppellösung
[mm] \lambda_{1,2}=0
[/mm]
Für [mm] \alpha>0 [/mm] erhält man
[mm] \lambda_{1,2}=\bruch{\wurzel{\alpha}\pm\wurzel{-3\alpha}}{2}=\bruch{\wurzel{\alpha}}{2}\pm\bruch{\wurzel{3\alpha}}{2}i
[/mm]
Damit solltest du den richtigen Ansatz finden.
Gruß, Diophant
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Danke, dummer Fehler mal wieder.
Du behandelst die DGL einfach wie ein Polynom 2. Grades und wendest dann die Lösungsformel an.
Warum geht das ? bzw. geht das denn immer ?
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Hallo,
> Danke, dummer Fehler mal wieder.
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> Du behandelst die DGL einfach wie ein Polynom 2. Grades und
> wendest dann die Lösungsformel an.
> Warum geht das ? bzw. geht das denn immer ?
Falsch. Ich habe das charakteristzische Polynom
[mm] \lambda^2-\wurzel{\alpha}\lambda+\alpha=0
[/mm]
betrachtet (und deinem Startbeitrag entnommne, dass du genau diesen Weg auch wählen möchtest).
Jetzt musst du mal in deinen Unterlagen nachschlagen, wie der Ansatz für den Fall aussieht, dass die Lösuzngen des CP konjugiert komplex sind.
Gruß, Diophant
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Ok, anscheinend hab ich den Lösungsansatz nicht verstanden.
Ich dachte der Ansatz ist y = [mm] e^{\alpha *x} [/mm]
Das setze ich mit seinen Ableitungen in die Gleichung ein und klammer es aus für das charakteristische Polynom, welches ich dann löse.
Aber wie ich [mm] e^{\alpha *x} [/mm] ausklammern soll bei einem konstanten Faktor ohne y versteh ich leider nicht :(
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Hallo,
> Ok, anscheinend hab ich den Lösungsansatz nicht
> verstanden.
>
> Ich dachte der Ansatz ist y = [mm]e^{\alpha *x}[/mm]
offensichtlich hast du da etwas falsch verstanden*, aber du müsstest doch Unterlagen darüber haben?
Der Ansatz für den Fall von komplexen Lösungen sagt dir hier, dass
[mm] y_h=e^{\bruch{\wurzel{\alpha}}{2}}*\left(a*cos\left(\bruch{\wurzel{3\alpha}}{2}\right)+b*sin\left(\bruch{\wurzel{3\alpha}}{2}\right)\right)
[/mm]
zu wählen ist.
Gruß, Diophant
*Das mit dem Verstehen ist hier durchaus nicht so einfach. Wenn ich ehrlich bin, habe ich diesen Ansatz über das Charakteristische Polynom erst in dem Moment verstanden, als ich mich zum ersten Mal mit DGL-Systemen und deren Lösung via Eigenwerten beschäftigt habe. Von daher ist es also überhaupt kein Beinbruch, wenn du das jetzt noch nicht komplett verstehst, aber du solltest dir die Methode einprägen!
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Hi, danke schomal für die ganze Hilfe !
Also was ich tun muss ist folgendes hoff ich.
Ich nehme deinen geposteten Ansatz von [mm] y_h [/mm] leite ihn 2 mal ab und setze dann alles ein.
Dann komm ich hoffentlich auf die von dir genannte Lösungsformel ?
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Hallo,
> Hi, danke schomal für die ganze Hilfe !
>
> Also was ich tun muss ist folgendes hoff ich.
>
> Ich nehme deinen geposteten Ansatz von [mm]y_h[/mm] leite ihn 2 mal
> ab und setze dann alles ein.
Ja und zwar in die DGL.
> Dann komm ich hoffentlich auf die von dir genannte
> Lösungsformel ?
Auf welche Lösungsformel? Du bekommst einfach eine Lösung für die homogene DGL.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Danke, dummer Fehler mal wieder.
> >
> > Du behandelst die DGL einfach wie ein Polynom 2. Grades und
> > wendest dann die Lösungsformel an.
> > Warum geht das ? bzw. geht das denn immer ?
>
> Falsch. Ich habe das charakteristzische Polynom
>
> [mm]\lambda^2-\wurzel{\alpha}\lambda+\alpha=0[/mm]
Hallo Diophant,
damit bin ich nicht einverstanden. Sieh mal hier:
https://matheraum.de/read?i=930222
FRED
>
> betrachtet (und deinem Startbeitrag entnommne, dass du
> genau diesen Weg auch wählen möchtest).
>
> Jetzt musst du mal in deinen Unterlagen nachschlagen, wie
> der Ansatz für den Fall aussieht, dass die Lösuzngen des
> CP konjugiert komplex sind.
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 25.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Hallo Diophant,
>
> damit bin ich nicht einverstanden. Sieh mal hier:
>
> https://matheraum.de/read?i=930222
autsch, ich habe nur homogen gelesen und dann nicht mehr genau genug hingesehen.
Danke für den Hinweis!
Grüße & schönen Sonntag,
Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL
> y'' - [mm]\wurzel{\alpha}[/mm] *y' + [mm]\alpha[/mm] = 0
>
> in Abhängigkeit von [mm]\alpha[/mm] >= 0
> Hallo,
Obiges ist keine homogene lineare DGL !
Wir schreiben um:
y'' - [mm]\wurzel{\alpha}[/mm] *y' = [mm]-\alpha[/mm]
Eine spezielle Lösung dieser DGL ist [mm] y_s(x)=\wurzel{\alpha}x
[/mm]
Die zugeh. homogene DGL lautet:
y'' - [mm]\wurzel{\alpha}[/mm] *y' = 0
Sie hat das char. Polynom [mm] \lambda^2 [/mm] -[mm]\wurzel{\alpha}[/mm] [mm] *\lambda
[/mm]
FRED
> ich wusste bei dieser Aufgabe ganz ehrlich nicht was mit
> der Konstante anfangen.
> Normalerweise habe ich immer so sachen mit dem Ansatz des
> charakteristischen Polynoms gelöst, wüsste aber nicht wie
> ich das hier mache.
> Für [mm]\alpha[/mm] = 0 bekomme ich die Lösungen 0 und
> [mm]\wurzel{\alpha}[/mm]
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Kein Problem, Fehler passieren ( vorallem mir )
allerdings hab ich nochmal nach geschaut, und da steht tatsächlich homogen und die Aufgabe ist genauso gestellt wie geschrieben.
Es handelt sich somit einfach um eine falsche Aufgabenstellung so wie ich das jetzt sehe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Kein Problem, Fehler passieren ( vorallem mir )
>
> allerdings hab ich nochmal nach geschaut, und da steht
> tatsächlich homogen und die Aufgabe ist genauso gestellt
> wie geschrieben.
>
> Es handelt sich somit einfach um eine falsche
> Aufgabenstellung so wie ich das jetzt sehe.
"homogen " ist falsch. Rechnen kannst Du die Aufgabe dennoch.
FRED
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Mach ich dann einfach ein Störglied aus dem [mm] \alpha [/mm] `?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 25.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mach ich dann einfach ein Störglied aus dem [mm]\alpha[/mm] '?
Ja
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 So 25.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Traumfabrik,
da muss ich mich dicke entschuldigen. Ich bin da irgendwie einer optischen Täuschung erlegen oder so etwas in der Art und habe einfach noch ein y dazugesetzt.
fred97 hat dir den passenden Tipp gegeben.
Gruß, Diophant
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