Allgemeine Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Di 17.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)*\bruch{N-I(t)}{N}*k
[/mm]
Gesucht ist die Allgemeine Lösung der DGF
|
Soweit ich das überblicken kann handelt es sich hierbei doch um eine Logistische Wachstumsfunktion.
Ich würde dann folgendermaßen vorgehen:
Trennung der Variablen
[mm] \bruch{dI}{dt}= I(t)*k(1-\bruch{I(t)}{N})
[/mm]
-> [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)*k*N*(N-I(t))
[/mm]
-> [mm] \bruch{dI}{I(t)(N-I(t))}=k*N*dt
[/mm]
-> [mm] [(\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*\bruch{1}{N}]*dI= [/mm] N*k*dt
das ganze dann mal N:
[mm] (\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*dI [/mm] = [mm] N^2*k*dt [/mm]
[mm] \integral (\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*dI= N^2*k \integral [/mm] dt +c*N
Dann integrieren :
ln(I(t))-ln(N-I(t))= [mm] K*N^2*t+C*N
[/mm]
Kann mir das jemand soweit bestätigen?
|
|
| |
|
Hallo marc1001,
> [mm]\bruch{dI}{dt}=I(t)*\bruch{N-I(t)}{N}*k[/mm]
>
> Gesucht ist die Allgemeine Lösung der DGF
>
>
> Soweit ich das überblicken kann handelt es sich hierbei
> doch um eine Logistische Wachstumsfunktion.
> Ich würde dann folgendermaßen vorgehen:
> Trennung der Variablen
>
> [mm]\bruch{dI}{dt}= I(t)*k(1-\bruch{I(t)}{N})[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{dI}{dt}=I(t)*k*N*(N-I(t))[/mm]
Es muß doch heißen ( siehe Aufgabenstellung ):
[mm]\bruch{dI}{dt}=I(t)*\bruch{k}{\red{N}}*(N-I(t))[/mm]
>
> -> [mm]\bruch{dI}{I(t)(N-I(t))}=k*N*dt[/mm]
> -> [mm][(\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*\bruch{1}{N}]*dI=[/mm]
> N*k*dt
>
> das ganze dann mal N:
>
> [mm](\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*dI[/mm] = [mm]N^2*k*dt[/mm]
>
> [mm]\integral (\bruch{1}{I(t)}+ \bruch{1}{N-I(t)})*dI= N^2*k \integral[/mm]
> dt +c*N
>
>
> Dann integrieren :
>
> ln(I(t))-ln(N-I(t))= [mm]K*N^2*t+C*N[/mm]
Nun, ich hab nach dem Integrieren folgendes erhalten:
[mm]\ln\left( \ I(t) \ \right)-\ln\left( \ N-I(t) \ \right)= k*t+C*N[/mm]
>
>
>
> Kann mir das jemand soweit bestätigen?
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Di 17.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ach da liegt der Fehler. Ich hab mich auch schon die ganze Zeit über das [mm] N^2 [/mm] gewundert, aber da es sich am Ende wieder rauskürzen lässt hab ich da wohl übersehen.
Danke !!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Di 17.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok, da war ich wohl etwas voreilig. Wie kommst du auf $ [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{k}{\red{N}}\cdot{}(N-I(t)) [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Di 17.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ok, da war ich wohl etwas voreilig. Wie kommst du auf
> [mm]\bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{k}{\red{N}}\cdot{}(N-I(t))[/mm]
Das ist genau die erste Gl die du gepostet hast, das N steht jetzt nur unter k, statt unter der Klammer.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 17.03.2009 | | Autor: | marc1001 |
Oh, wie peinlich :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mi 15.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hallo,
ist schon ne weile her, aber ich bin gerade wieder in einer Art Vorbereitung und versuchen mal ein paar alte Aufgaben hier nachzuvollziehen.
Und bin auch Prompt auf ein Problem gestoßen.
Wie kommt es zu:
$ [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{k}{{N}}\cdot{}(N-I(t)) [/mm] $
>
> -> $ [mm] \bruch{dI}{I(t)(N-I(t))}=k\cdot{}\[\red{N}\cdot{}dt [/mm] $
Müsste das nicht so aussehen:
$ [mm] \bruch{dI}{I(t)(N-I(t))}=\bruch{k}{N}*dt
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Frage ist unverstaendlich, da ja grade die jetzt mit rotem N geschriebene Gleichung dein Fehler war.
also die letzte ist richtig.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mi 15.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Die Gleichung mit dem roten N ist eine Korrektur eines User zu meinem ersten Versuch die Gleichung zu lösen. Doch mir ist gerade erst AUfgefallen, daß das eventuell falsch ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mi 15.04.2009 | | Autor: | leduart |
Haööo
Ja, rot ist meist falsch, und es steht ja auch dabei!!
Gruss leduart
|
|
|
|
