Allgemeine Lösung bestimmen < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Di 25.01.2011 | | Autor: | hamma |
Hallo, ich möchte die allgemeine Lösung der folgenden Differentialgleichung bestimmen, mir fehlt aber der erste Ansatz wie ich hier anfangen soll.
[mm] xy'+\wurzel{x^2+y^2}=y
[/mm]
gruß hamma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich möchte die allgemeine Lösung der folgenden
> Differentialgleichung bestimmen, mir fehlt aber der erste
> Ansatz wie ich hier anfangen soll.
Substituiere [mm] $u=\bruch{y}{x}
[/mm]
FRED
>
> [mm]xy'+\wurzel{x^2+y^2}=y[/mm]
>
> gruß hamma
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Di 25.01.2011 | | Autor: | hamma |
ok danke, ich versuchs mal.
[mm] xy'+\wurzel{x^2+y^2}=y [/mm] /:x
[mm] y'+\bruch{1}{x}\wurzel{x^2+y^2}=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] y'+\wurzel{1+\bruch{y^2}{x^2}}=\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{y}{x}-\wurzel{1+\bruch{y^2}{x^2}}
[/mm]
[mm] y'=\bruch{y}{x}-\wurzel{1+(\bruch{y}{x})^2}
[/mm]
und jetzt mit substitution:
[mm] u=\bruch{y}{x} [/mm] ; y=u*x; y'=u'x+u
eingesetzt ergibt:
[mm] u'x+u=u-\wurzel{1+u^2}
[/mm]
u kann ich jetzt kürzen und wende dann noch trennung der variable an:
[mm] u'x=-\wurzel{1+u^2}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx}*x=-\wurzel{1+u^2}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}= -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}} du}
[/mm]
wäre meine rechnung soweit richtig? ich wüsste jetzt aber nicht wie ich weiter rechnen soll.
gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok danke, ich versuchs mal.
>
> [mm]xy'+\wurzel{x^2+y^2}=y[/mm] /:x
>
> [mm]y'+\bruch{1}{x}\wurzel{x^2+y^2}=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]y'+\wurzel{1+\bruch{y^2}{x^2}}=\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{y}{x}-\wurzel{1+\bruch{y^2}{x^2}}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{y}{x}-\wurzel{1+(\bruch{y}{x})^2}[/mm]
>
> und jetzt mit substitution:
>
> [mm]u=\bruch{y}{x}[/mm] ; y=u*x; y'=u'x+u
>
> eingesetzt ergibt:
>
> [mm]u'x+u=u-\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> u kann ich jetzt kürzen und wende dann noch trennung der
> variable an:
>
> [mm]u'x=-\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{du}{dx}*x=-\wurzel{1+u^2}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}= -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}} du}[/mm]
Besser: [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}= -\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{u^2+1}} du}+C[/mm]
>
> wäre meine rechnung soweit richtig?
Ja, beachte aber, dass obige Rechnungen nur für x>0 gelten !
> ich wüsste jetzt aber
> nicht wie ich weiter rechnen soll.
Eine Stammfunktion von [mm] \wurzel{1+u^2} [/mm] ist $ Arsinh(u)$
Eine Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] kennst Du sicherlich !
FRED
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> gruß hamma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Di 25.01.2011 | | Autor: | hamma |
ok danke, ich versuchs mal weiter:
mit Rücksubstitution:
[mm] ln(x)=-Arsinh\bruch{y}{x}+c
[/mm]
ln(x)-c= [mm] -Arsinh\bruch{y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{y}{x}= [/mm] arcArsinh(ln(x)-c)
y= x*arcArsinh(ln(x)-c)
wäre meine vorgehensweise so richtig?
gruß hamma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok danke, ich versuchs mal weiter:
>
> mit Rücksubstitution:
>
> [mm]ln(x)=-Arsinh\bruch{y}{x}+c[/mm]
>
> ln(x)-c= [mm]-Arsinh\bruch{y}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{y}{x}=[/mm] arcArsinh(ln(x)-c)
Hier ist Dir ein "-" verloren gegangen, und was soll das "arcAr" ? Also
[mm]\bruch{y}{x}=[/mm] sinh(-ln(x)+c)
>
> y= x*arcArsinh(ln(x)-c)
Richtig: y= x*sinh(-ln(x)+c)
Jetzt noch vereinfachen
FRED
>
> wäre meine vorgehensweise so richtig?
> gruß hamma
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Di 25.01.2011 | | Autor: | hamma |
ok, danke für die hilfe.
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