Allgemeine Frage < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Do 08.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | | Lösen Sie $y'-ycos(x)=0$ |
Im Laufe der Rechnung komme ich ja auf:
[mm] $\integral{\frac{dy}{y}} [/mm] = [mm] \integral{cos(x)*dx}$
[/mm]
Das ist ja aufgelöst:
[mm] $\ln{y} [/mm] = [mm] \sin{x} [/mm] + c$
Allerdings habe ich hier in meinen Aufzeichnungen bei dem Schritt ganz oft statt c den ln von c stehen. Das hatte wohl den Hintergrund, dass man dann im Schritt darauf dann links den ln von y/c stehen hat und nach auflösen dann die richtige Lösung.
[mm] $y=c*e^{sin(x)}$
[/mm]
Ich hab aber auch Aufgaben, wo das c nicht als ln geschrieben wurde.
Jetzt bin ich natürlich reichlich verwirrt und weiß nicht was der richtige Weg ist mit dem c umzugehen. Mir ist klar, dass es eine Konstante ist, aber deswegen kann ich doch nicht nach belieben den ln oder nicht schreiben.
Das c als ln(c) zu schreiben scheint ja auf jeden Fall unzulässig. Viel eher muss ich dann das c durch weitere Konstanten ersetzen, bei denen ich z.B. nur rationale und von Null verschiedene Zahlen zulasse. Richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:14 Do 08.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Morph007!
> Lösen Sie [mm]y'-ycos(x)=0[/mm]
>
> Im Laufe der Rechnung komme ich ja auf:
>
> [mm]\integral{\frac{dy}{y}} = \integral{cos(x)*dx}[/mm]
>
> Das ist ja aufgelöst:
>
> [mm]\ln{y} = \sin{x} + c[/mm]
Falsch. Richtig:
[mm] \int{\frac{1}{x}}=\ln(|x|)+C.
[/mm]
> Allerdings habe ich hier in meinen Aufzeichnungen bei dem
> Schritt ganz oft statt c den ln von c stehen. Das hatte
> wohl den Hintergrund, dass man dann im Schritt darauf dann
> links den ln von y/c stehen hat und nach auflösen dann die
> richtige Lösung.
>
> [mm]y=c*e^{sin(x)}[/mm]
>
> Ich hab aber auch Aufgaben, wo das c nicht als ln
> geschrieben wurde.
>
> Jetzt bin ich natürlich reichlich verwirrt und weiß nicht
> was der richtige Weg ist mit dem c umzugehen. Mir ist klar,
> dass es eine Konstante ist, aber deswegen kann ich doch
> nicht nach belieben den ln oder nicht schreiben.
>
> Das c als ln(c) zu schreiben scheint ja auf jeden Fall
> unzulässig. Viel eher muss ich dann das c durch weitere
> Konstanten ersetzen, bei denen ich z.B. nur rationale und
> von Null verschiedene Zahlen zulasse. Richtig?
Deine Verwirrung ist zu Stande gekommen, weil du diese Aufgabe
mit Anfangswertproblemen vergleichst. Hier ist allerdings keine
Bedingung [mm] $y(x_0)=y_0$ [/mm] gegeben. Dazu kommen wir gleich nochmal.
Zu deiner Aufgabe:
[mm] y'-y\cos(x)=0
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(|y|)+C_1=\sin(x)+C_2$.
[/mm]
[mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] sind Konstanten und aus diesem Grund können wir diese
auch als eine Konstante zusammenfügen. Mit [mm] $C_3:=C_2-C_1$ [/mm] erhalten
wir zum Beispiel [mm] \ln(|y|)=\sin(x)+C_3, [/mm] wobei die Festlegung von [mm] $C_3\$ [/mm] ei-
gentlich überflüssig ist. Wenn wir nun die Exponentialfunktion
anwenden erhalten wir [mm] e^{y}=e^{\sin(x)+C_3}. [/mm] Nun ist
[mm] |y|=e^{\sin(x)+C_3}=e^{\sin(x)}*e^{C_3}
[/mm]
und mit [mm] C:=e^{C_3} [/mm] erhalten wir
[mm] |y|=C*e^{\sin(x)} [/mm] bzw. [mm] y=C*e^{\sin(x)}.
[/mm]
Wenn wir allerdings ein Anfangswertproblem zur Verfügung hätten,
also eine zusätzliche Bedingung, etwa [mm] $y(x_0)=y_0$, [/mm] dann gilt:
[mm] y(x_0)=C*e^{\sin(x_0)}\overset{!}{=}y_0
[/mm]
[mm] $\Rightarrow C=\frac{y_0}{e^{\sin(x_0)}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y(x)=\frac{y_0}{e^{\sin(x_0)}}*e^{\sin(x)}$.
[/mm]
Man kann das aber auch umgehen:
Seien [mm] $g\colon I\to\IR$ [/mm] und [mm] $f\colon J\to\IR$ [/mm] zwei stetige Funktionen auf offenen Inter-
vallen [mm] I,J\subseteq\IR. [/mm] Betrachte
[mm] \begin{cases} y'=g(x)*f(y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases} [/mm]
mit [mm] $x_0\in [/mm] I$ und [mm] $y_0\in [/mm] J$.
Ist [mm] f(y_0)=0, [/mm] dann ist [mm] y(x)=y_0 [/mm] eine konstante Lösung. Ist [mm] f(y_0)\not=0, [/mm] dann
erhalten wir in einem hinreichend kleinen offenen Intervall [mm] $H\subseteq [/mm] I$ um
[mm] x_0 [/mm] eine Lösung, die man aus der Formel
[mm] \integral_{y_0}^{y}\frac{d\eta}{f(\eta)}=\integral_{x_0}^{x}g(\xi)f\xi [/mm]
durch Auflösen nach [mm] $y\$ [/mm] erhält.
Wir merkt man sich die Formel? Ganz banal:
[mm] $y'=\frac{dy}{dx}=g(x)*f(y)\rightsquigarrow\frac{dy}{f(y)}=g(x)dx\rightsquigarrow\integral\frac{dy}{f(y)}=\integral [/mm] g(x)dx$.
Wenn wir nun die Formel benutzen, dann erhalten wir
[mm] \ln(|y|)-\ln(|y_0|)=\sin(x)-\sin(x_0)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(|y|)=\sin(x)-\sin(x_0)+\ln(|y_0|)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |y(x)|=e^{\sin(x)-\sin(x_0)+\ln(|y_0|)}=e^{\sin(x)}*e^{\ln(|y_0|)-\sin(x_0)}=e^{\sin(x)}*\frac{e^{\ln(|y_0|)}}{e^{\sin(x_0)}}=e^{\sin(x)}*\frac{|y_0|}{e^{\sin(x_0)}}$.
[/mm]
Wie du siehst ist das alles nur eine Spielerei und am Besten
du probierst das mit *geeigneten* [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] aus. Hier sind
diese schon geeignet, siehe oben, so dass die Beträge auch
wegfallen. 
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Fr 09.01.2015 | | Autor: | Morph007 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Okay danke erstmal.
Mir ging es ja erstmal allgemein um die Konstante bei Aufgaben ohne Anfangswert. Da kann ich also durch geschicktes Festlegen der Konstante (nur von Null unterschiedliche, rationale Zahlen) $e^c = c$ schreiben, richtig?
Ich habe jetzt hier nochmal eine Aufgabe mit Anfangswerten:
$y'+\frac{1}{x} y = x$ mit $y_0=\frac[4}{3}$ und $x_0=1$
Das würde doch dann bedeuten, dass $y(1)=\frac{4}{3}$ richtig?
Wie würde denn dann bei der Aufgabe dein Konstrukt aussehen? Was ist $f(y)$ und was ist $g(x)$?
$f(y)=y'+\frac{1}{x} y$
$g(x)=x$
So ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Fr 09.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Okay danke erstmal.
> Mir ging es ja erstmal allgemein um die Konstante bei
> Aufgaben ohne Anfangswert. Da kann ich also durch
> geschicktes Festlegen der Konstante (nur von Null
> unterschiedliche, rationale Zahlen) [mm]e^c = c[/mm] schreiben,
> richtig?
Nein. Wenn Du [mm]e^c = C[/mm] geschrieben hättest, würde es etwas besser aussehen. Allerdings ist dann stets C>0 , ein gewaltige Einschränkung.
All das hat man davon, wenn man eine homogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit Trennung der Variablen löst !
>
> Ich habe jetzt hier nochmal eine Aufgabe mit
> Anfangswerten:
>
> [mm]y'+\frac{1}{x} y = x[/mm] mit [mm]y_0=\frac[4}{3}[/mm] und [mm]x_0=1[/mm]
>
> Das würde doch dann bedeuten, dass [mm]y(1)=\frac{4}{3}[/mm]
> richtig?
Ja
>
> Wie würde denn dann bei der Aufgabe dein Konstrukt
> aussehen? Was ist [mm]f(y)[/mm] und was ist [mm]g(x)[/mm]?
>
> [mm]f(y)=y'+\frac{1}{x} y[/mm]
> [mm]g(x)=x[/mm]
>
> So ?
Nein.
Die DGL
(*) [mm]y'+\frac{1}{x} y = x[/mm]
ist eine inhomogene lineare DGL 1. Ordnung. Welche Lösungsmethode habt Ihr dazu gelernt ?
FRED
|
|
|
| |
|
Zum Beispiel Variation der Konstanten.
Wie sollte ich denn eine homogene DGL ohne Anfangswertproblem sonst lösen, als mit TdV?
Dann funktioniert das Schema nur bei homogenen DGL mit Anfangswert?
Hättest Du vielleicht eine Aufgabe, die ich nach deinem Schema lösen kann zur Übung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 11.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
