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| Aufgabe | Mathematische Formel:
[mm] 1^2+2^2+...+(n-1)^2=\bruch{1}{6}(2n^3-3n^2+n)
[/mm]
Damit ergibt sich:
Su(n)= [mm] \bruch{8}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3n^2}
[/mm]
Aufgaben:
1) Bestätige die Formel [mm] 1^2+2^2+...+(n-1)^2=\bruch{1}{6}(2n^3-3n^2+n)
[/mm]
für n=1 bis 5.
2) Welchen Flächeninhalt hat bei diesem Beispiel immer das erste Rechteck der Untersumme?
3) Berechne Su(n) für n= 2,4,16,1024.
4) Welchen Grenzwert hat die Untersumme Su(n)= [mm] \bruch{8}{3} [/mm] - [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3n^2} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] ?
5) Für die Obersumme in diesem Beispiel ergibt sich:
So(n)= [mm] \bruch{8}{3} [/mm] + [mm] \bruch{4}{n} [/mm] + [mm] \bruch{4}{3n^2}
[/mm]
a) Was ist der Unterschied zwischen Su(n) und So(n)?
b) Welchen Grenzwert hat So(n) für n [mm] \to \infty [/mm] ?
c) Welchen Wert hat die Fläche A tatsächlich |
Guten Tag,
Im Matheunterricht lernen wir das Thema Integralrechnung kennen und befassen uns grad mit der Berechnung von unter bzw. Obersumme (vorerst in einer einfachen "Weise").
Zu den Aufgaben:
1) ist für mich klar
2) Die Fläche müsste bei dem ersten Rechteck der Untersumme 0 sein (bei einer Normalparabel [mm] f(x)=x^2) [/mm] , stimmt das?
3) ist für mich klar
4) hier fängt es an zu haken weil ich zum einen den Stoff mit Grenzwerten verpasst hab wäre es überaus nett eine kleine Einführung zu geben.
bei 5) sind es die ähnlichen Aufgaben.
Könnte beim Unterschied nur sagen das das Vorzeichen bei der Obersumme positiv ist und bei der Untersumme negativ , ist da noch mehr?
bei einer verständnisvollen erklärung müsste ich in der Lage sein b) und c) von Aufgabe 5) zu lösen.
Bedanke mich im vorraus für die Zeit und Mühe des jeweiligen der mir hilft
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Do 19.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
male Dir am besten ein Bildchen zur Ober- und Untersumme, z.B. für die Funktion [mm] x^{2} [/mm] in einem bestimmten Bereich, dann siehst Du den Unterschied. Bis auf das Minuszeichen fällt mir auch kein (rechnerischer) Unterschied ein. Anschaulich sieht man's, wie gesagt, an dem Beispiel.
Zu Grenzwerten:
Hat man eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] gegeben, so kann man betrachten, wie sich die Folgenglieder für große n verhalten.
Die Folge kann gegen einen Grenzwert streben, obwohl keines der Folgenglieder jemals diesen Grenzwert erreicht.
Überlege Dir einfach, was mit den Folgengliedern (in Deinem Fall der Summe je n) passiert, wenn man riesige n einsetzt.
Beispiel: Folge [mm] (\bruch{1}{n})_{n \in \IN} [/mm]
Die Folgenglieder werden für wachsendes n immer kleiner:
[mm] \bruch{1}{1}, \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{1}{4} [/mm] usw.
Wenn ich mir ein beliebiges a > 0 hernehme, finde ich immer ein n, so dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < a, d.h. es gibt ein n, so dass für alle m > n alle Folgenglieder [mm] \bruch{1}{m} [/mm] zwischen 0 und a liegen. Da das mit jedem a > 0 möglich ist, werden die Folgenglieder also beliebig klein (größer 0).
Der Grenzwert der Folge ist demnach 0, auch wenn es kein n gibt mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] = 0
Schreibweise:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n} [/mm] = 0
oder
[mm] \bruch{1}{n} \to_{n\rightarrow\infty} [/mm] 0
(Der Pfeil steht hier eigentlich komplett über " [mm] n\rightarrow\infty" [/mm] - kann ich hier nicht darstellen)
LG djmatey
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Do 19.06.2008 | | Autor: | klin |
hi!
zu 4/5): "n geht gegen unendlich" heißt ja nichts anderes, als dass das n immer größer wird - eben "unendlich groß".
bei 4) z.B. passiert mit dem ersten bruch ja gar nichts, weil er nicht von n abhängt. bei [mm] \bruch{4}{n} [/mm] sieht das anders aus. hier musst du dir überlegen, was passiert, wenn n immer größer wird.
vergleiche zum beispiel mal [mm] \bruch{1}{10,}, \bruch{1}{100}, \bruch{1}{1000},...was [/mm] passiert damit und welcher zahl nähern sich die brüche an (auch wenn sie diese Zahl nie genau erreichen)?
Wenn du diese Zahlen gefunden hast, setzt du sie für die brüche ein ("grenzübergang") und rechnest zu ende.
zur 6:
habt ihr ober- und untersummen in irgendeiner weise mit einer zeichnung eingeführt? wenn ja, guck dir das mal in ruhe an und vergleiche die unterschiede in den formeln mit denen in der zeichnung. mach dir dabei noch einmal klar, wie die formel entsteht.
hoffe ein wenig geholfen zu haben....is meine erste antwort hier ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Do 19.06.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also sinn der Ober und Untersumme ist ja dass der Grenzwert für beide Identisch wird, sonst hilft einem das ganze ja nicht weiter, diese Methode wird am Anfang allgemein benutzt um die Grundintegrale herauszufinden
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