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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Sa 13.02.2021 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | <br>
Sei [mm] z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm] \overline{z} [/mm] ihre Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] lösen. |
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Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm] \overline{z}=a-b*i [/mm] ist und [mm] z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i [/mm] ist.
Dann komme ich zur Gleichung [mm] (a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0.
[/mm]
Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
[mm] (a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0
[/mm]
Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis dankbar.
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Hiho,
> [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]
>
> Ab da komme ich nicht mehr weiter
Eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleich Null sind.
Gruß,
Gono
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Hiho,
dein Ansatz ist zielführend und völlig ok, als Alternative hier aber mal ein anderer Ansatz:
Wir haben $ [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] $ und offensichtlich ist $z=0$ eine Lösung.
Seit also im Weiteren [mm] $z\not=0$. [/mm] Durchmultiplizieren mit $z$ liefert:
$ [mm] z^3-5\overline{z}z=0 [/mm] $
Nun ist [mm] $\overline{z}z [/mm] = [mm] |z|^2$. [/mm] Dividieren durch [mm] $|z|^2$ [/mm] und umstellen liefert dann.
[mm] $\left(\frac{z}{|z|}\right)^2 \cdot [/mm] z = 5$
Verwendet man nun die Polarform von $z$, so gilt $z = [mm] re^{i\varphi}$ [/mm] und [mm] $\frac{z}{|z|} [/mm] = [mm] e^{i\varphi}$ [/mm]
Damit ergibt sich:
[mm] $re^{3i\varphi} [/mm] = 5$
d.h.
$r = 5, [mm] 3\varphi [/mm] = [mm] 2k\pi$
[/mm]
D.h. als Lösungen ergeben sich (neben z=0 und für [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$):
[/mm]
$r=5, [mm] \left(\varphi = 0 \vee \varphi = \frac{2}{3}\pi \vee \varphi = \frac{4}{3}\pi\right)$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mo 15.02.2021 | | Autor: | fred97 |
Noch eine Möglichkeit:
Klar ist , dass $z=0$ die Gleichung löst. Sei als $z [mm] \ne [/mm] 0.$
Wie bei Gono multiplizieren wir die Gl mit $z$ und erhalten
(*) [mm] $z^3=5|z|^2,$
[/mm]
also
[mm] $|z|^3=5|z|^2,$
[/mm]
dies liefert schon mal $|z|=5.$
Aus (*) erhalten wir
[mm] $z^3=125$.
[/mm]
Man sieht, dass $z=5$ eine Lösung ist und dass
[mm] $(z^3-125):(z-5)=z^2+5z+25$
[/mm]
gilt
Die quadratische Gleichung [mm] $z^2+5z+25=0$ [/mm] hat die Lösungen
[mm] $\frac{5}{2}(-1 \pm [/mm] i [mm] \sqrt{3}).$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:38 Mo 15.02.2021 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
sehr hübsch!
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mo 15.02.2021 | | Autor: | fred97 |
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> Sei [mm]z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm]\overline{z}[/mm] ihre
> Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung
> [mm]z^2-5\overline{z}=0[/mm] lösen.
>
>
> <br>
>
> Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm]\overline{z}=a-b*i[/mm]
> ist und [mm]z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i[/mm] ist.
>
> Dann komme ich zur Gleichung [mm](a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0.[/mm]
> Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
> [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]
Hier hast Du einen Fehler: es lautet richtig:
[mm](a^2-5a-b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm].
Wie Gono in seiner ersten Antwort geschrieben hat, bedeutet dies:
[mm] $a^2-5a-b^2=0$
[/mm]
und
$2ab+5b=0.$
Wenn Du dieses Gleichungssystem löst, solltest Du auf die Ergebnisse meine ersten Antwort kommen.
>
> Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis
> dankbar.
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