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Alle Gruppenhomomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:42 Di 25.09.2012
Autor: AntonK

Aufgabe
Finden Sie alle Gruppenhomomorphismen von;

f: [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/2\IZ [/mm]


Hallo Leute,

habe mir einfach mal folgende Abbildungen definiert:

1. (a,b) -> a+b
2. (a,b) -> ab

Jetzt habe ich als Gruppenhomomorphismen:

1. $f((a,b)+(c,d))=(a+b)+(c+d)=f((a,b))+f((c,a))$
2. $f((a,b)+(c,d))=(ab)+(cd)=f((a,b))+f((c,a))$

Das wären ja 2. Gruppenhomophismen, was wäre denn aber mit den Fällen:

3. $f((a,b)*(c,d))=(a+b)*(c+d)=f((a,b))*f((c,a))$
4. $f((a,b)*(c,d))=(ab)*(cd)=f((a,b))*f((c,a))$

Müssen die auch noch berücksichtigt werden, habe ich also 4 mögliche Gruppenhomomorphismen?

Danke schonmal!

        
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Di 25.09.2012
Autor: Salamence

Hallo!
> Finden Sie alle Gruppenhomomorphismen von;
>  
> f: [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/2\IZ[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> habe mir einfach mal folgende Abbildungen definiert:
>  
> 1. (a,b) -> a+b
>  2. (a,b) -> ab

>  
> Jetzt habe ich als Gruppenhomomorphismen:
>  
> 1. [mm]f((a,b)+(c,d))=(a+b)+(c+d)=f((a,b))+f((c,a))[/mm]
>  2. [mm]f((a,b)+(c,d))=(ab)+(cd)=f((a,b))+f((c,a))[/mm]
>  
> Das wären ja 2. Gruppenhomophismen, was wäre denn aber
> mit den Fällen:
>  
> 3. [mm]f((a,b)*(c,d))=(a+b)*(c+d)=f((a,b))*f((c,a))[/mm]
>  4. [mm]f((a,b)*(c,d))=(ab)*(cd)=f((a,b))*f((c,a))[/mm]
>  
> Müssen die auch noch berücksichtigt werden, habe ich also
> 4 mögliche Gruppenhomomorphismen?
>  
> Danke schonmal!

Also zunächst einmal: Das sind additive Gruppen, nicht multikplikative...
Du hast zwei ziemlich kleine endliche Gruppen, da kann man sie einfach mal hinschreiben und gucken, welches Element auf welches abgebildet werden kann.
Also [mm] G=\{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\} [/mm] und [mm] H=\{0,1\} [/mm] mit Addition mod 2.
Zwingend wird (0,0) auf 0 abgebildet, was sonst noch möglich ist, kann man einfach mal hinschreiben. Hier ist wichtig, dass das Bild von (1,1) die Summe der Bilder von (1,0) und (0,1) ist. Es müssten übrigens in der Tat 4 sein.

Bezug
                
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Di 25.09.2012
Autor: AntonK

Kann ich mir gerade nicht vorstellen, also:

f((0,0))=0
f((1,0))=f((0,1))=1
f((1,1))=0

1+1=0, da Ordnung von [mm] \IZ/2\IZ [/mm] gleich 2 ist.

Aber wie muss ich mir nun den Homomorphismus bauen?



Bezug
                        
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:32 Di 25.09.2012
Autor: Salamence


> Kann ich mir gerade nicht vorstellen, also:
>  
> f((0,0))=0
>  f((1,0))=f((0,1))=1
>  f((1,1))=0
>  
> 1+1=0, da Ordnung von [mm]\IZ/2\IZ[/mm] gleich 2 ist.
>  
> Aber wie muss ich mir nun den Homomorphismus bauen?
>  
>  

Das ist z. B. einer. Du musst ja nur angeben, wohin die einzelnen Elemente abgebildet werden und das hast du getan. Du musst jetzt nur noch die anderen Möglichkeiten angeben, worauf (1,0) und (0,1) abgebildet werden können und dann hast sie alle.

Bezug
                                
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:49 Di 25.09.2012
Autor: AntonK

Hm, ok, aber was wäre denn noch eine Möglichkeit, das verstehe ich nicht ganz.

Meinst du sowas wie:

f((0,1))=0
f((1,0))=1

Einfach varieren? Wobei ja f((0,0))=0 immer sein muss, wegen dem neutralen Element oder?

Bezug
                                        
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Mi 26.09.2012
Autor: angela.h.b.


> Meinst du sowas wie:
>  
> f((0,1))=0
>  f((1,0))=1

Hallo,

und hieraus ergibt sich dann ja f((1,1)).

>  
> Einfach varieren? Wobei ja f((0,0))=0 immer sein muss,

Genau.

LG Angela


Bezug
                                                
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 26.09.2012
Autor: AntonK

Danke euch!

Bezug
                                                
Bezug
Alle Gruppenhomomorphismen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Mi 26.09.2012
Autor: AntonK

Sorry, verklickt, habs verstanden, danke euch!

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